Partitie a planului

[bae]

Fie \( \{E,F\} \) o partitie a planului. Sa se arate ca:
a) pentru orice numar real pozitiv \( s \) exista un poligon convex de arie \( s \) ale carui varfuri apartin toate lui \( E \) sau toate lui \( F \);
b) pentru orice numar real pozitiv \( p \) exista un poligon convex de perimetru \( p \) ale carui varfuri apartin toate lui \( E \) sau toate lui \( F \).

GM 4/1988

[Beniamin Bogosel]

Consideram punctele dintr-o partitie colorate cu rosu si celelalte cu albastru.
a) Fie \( s \in \mathbb{R}_+^* \). Presupunem ca nu exista un poligon de arie \( s \) cu toate varfurile de aceeasi culoare.
Deoarece planul este partitionat in 2 exista doua puncte de aceeasi culoare, de exemplu rosu. Fie \( d \in \mathbb{R}_+^* \) distanta dintre aceste puncte. Atunci dreptele paralele cu segmentul determinat de cele 2 puncte situate la distanta \( \frac{2s}{d} \) sunt colorate cu albastru, pentru ca altfel exista un poligon cu proprietatea ceruta, contrar presupunerii.
Acum consideram doua puncte pe una din aceste drepte la distanta \( \frac{d}{2} \) unul de altul, si un punct pe cealalta dreapta albastra. Atunci aria triunghiului determinat de cele 3 puncte considerate este \( \frac{\frac{d}{2}2\cdot \frac{2s}{d}}{2}=s \). Contradictie. Deci exista un triunghi de arie \( s \), de unde rezulta concluzia.

[Beniamin Bogosel]

b) Consideram din nou punctele unei partitii colorate cu aceeasi culoare, si evident puncte din partitii diferite colorate diferit, sa zicem rosu si albastru. Daca o clasa a partitiei este vida, nu avem ce demonstra. Deci exista un punct rosu.
Fie \( p \in \mathbb{R}_+^* \). Fie un punct rosu in plan si consideram discul de raza \( \frac{p}{3} \). Atunci daca in acest disc nu exista puncte rosii atunci toate sunt albastre, in afara de centru. Se poate construi un triunghi echilateral de latura \( \frac{p}{3} \) in interiorul discului, cu virfurile diferite de punctul rosu, deci albastre si de perimetru \( 3\frac{p}{3}=p \), deci am terminat.
Altfel exista doua puncte rosii (centrul cercului si inca unul) situate la distanta <\( \frac{p}{3} \). Consideram punctele din plan care au proprietatea ca suma distantelor de la punctele respective la cele doua puncte rosii este \( p-d \), unde \( d \) este distanta dintre punctele rosii considerate.
Locul geometric al acestor puncte este o elipsa cu focarele in cele doua puncte rosii. Daca pe aceasta elipsa ar exista un punct rosu am terminat. Presupunem ca toate punctele elipsei sunt albastre.
Fixam 2 puncte pe elipsa, la distanta \( d \), astfel incat segmentul determinat de ele sa fie paralel cu axa focarelor. Doua asemenea puncte exista pentru ca \( d \) este distanta dintre focare. Acum consideram un alt punct variabil pe arcul mare al elipsei determinat de coarda considerata. Daca punctul parcurge tot acest arc, perimetrul triunghiului parcurge un interval (fiind o functie continua care are proprietatea lui Darboux). Una dintre extremitatile intervalului este \( d\leq \frac{p}{3} \), iar cealalta depaseste \( p \), pentru ca si perimetrul triunghiului determinat de focare si un punct al elipsei este \( p \).
Prin urmare \( p \) este in interiorul intervalului considerat, si exista un triunghi cu varfuri albastre care are perimetrul \( p \).



Imi pare rau ca demonstratia e mai mult povestita; probabil ca in partea cu perimetrul ca functie continua trebuia explicat mai mult (cu ecuatia analitica a elipsei), si faptul ca exista un triunghi cu perimetrul mai mare decit \( p \) trebuia justificat mai bine, dar nu pot desena o figura... pe care s-ar vedea foarte clar si imediat justificarea.

[Beniamin Bogosel]

Aici se poate vedea de ce exista un triunghi cu perimetrul mai mare decit \( p \).