Fie ABCD un patrulater inscriptibil şi E punctul de intersecţie al bisectoarelor unghiurilor din A şi B. Paralela dusă prin punctual E la latura CD intersectează dreptele suport ale laturilor [AD] şi [BC] în punctele M şi respectiv N. Arătaţi că are loc relaţia: |AM|+|BN|=|MN|. (Luthar)
OBS. Am o solutie care include si putina trigonometrie, dar nu o postez decat in cazul in care in decurs de o luna nu vine o solutie din partea altcuiva (a unui elev).
Problema 1256 din rev.“Mathematical Magazine”
Moderators: Laurian Filip, Filip Chindea, maky, Cosmin Pohoata, Virgil Nicula
-
mihai miculita
- Pitagora
- Posts: 93
- Joined: Mon Nov 12, 2007 7:51 pm
- Location: Oradea, Romania
-
Virgil Nicula
- Euler
- Posts: 622
- Joined: Fri Sep 28, 2007 11:23 pm
Re: Problema 1256 din rev.“Mathematical Magazine”
Se observa ca "\( ABCD \) este inscriptibil \( \ \Longleftrightarrow\ \) \( ABNM \) este inscriptibil" deoarece \( MN\parallel CD \).mihai miculita wrote:Fie \( ABCD \) un patrulater inscriptibil si \( E \) punctul de intersectie al bisectoarelor unghiurilor din \( A \) si \( B \).
Paralela dusa prin punctual \( E \) la latura \( CD \) intersecteaza dreptele suport ale laturilor \( [AD] \) si \( [BC] \)
în punctele \( M \) si \( N \) respectiv. Aratati ca are loc relatia \( AM+BN=MN \) .
Dupa parerea mea, punctele \( C \) si \( D \) sunt inutile. Asadar, enuntul se poate simplifica (esentializa !) astfel:
Eu am doua solutii, una sintetica si scurta si una trigonometrica si mai laborioasa.Fie un patrulater convex inscriptibil \( ABCD \) pentru care punctul de intersectie al bisectoarelor
unghiurilor \( A \) si \( B \) se intalnesc pe latura \( [CD] \). Sa se arate ca \( AD+BC=CD \).
Insa fiind profesor, chiar pensionar, le voi posta cat mai tarziu ... in ordinea varstei.
Site - ul inca-i la inceput si "puii" nostri se misca cam greu, desi problema este usoara, chiar si sintetic.
Va salut cu mult drag pe toti, din Sarasota/Bradenton, Florida !
Un enunt echivalent \( E1. \) Prin centrul \( I_a \) al cercului \( A \) - exinscris triunghiului \( ABC \) se duce
antiparalela \( d \) la latura \( [BC] \). Notam \( \left\{\begin{array}{c}
M\in d\cap AB\\\\
N\in d\cap AC\end{array} \). Sa se arate ca \( BM+CN=MN \).
Un enunt echivalent \( E2. \) Prin centrul \( I \) al cercului inscris triunghiului \( ABC \) se duce
antiparalela \( d \) la latura \( [BC] \). Notam \( \left\{\begin{array}{c}
M\in d\cap AB\\\\
N\in d\cap AC\end{array} \). Sa se arate ca \( BM+CN=MN \).
Last edited by Virgil Nicula on Mon Mar 31, 2008 4:45 pm, edited 3 times in total.
Fie \( E \) intersectia celor 2 bisectoare si \( S \) a doua intersectie a cercului circumscris triunghiului \( ABE \) cu \( CD \).
\( \hat{BSC}=\hat{A}/2 \), \( \hat{SBC}=180-\hat{C}-\hat{A}/2=\hat{A}/2 \).
Deci triunghiul \( SBC \) este isoscel. Analog \( SAD \) isoscel si deci \( CD=AD+BC \).
\( \hat{BSC}=\hat{A}/2 \), \( \hat{SBC}=180-\hat{C}-\hat{A}/2=\hat{A}/2 \).
Deci triunghiul \( SBC \) este isoscel. Analog \( SAD \) isoscel si deci \( CD=AD+BC \).
n-ar fi rau sa fie bine 
-
Virgil Nicula
- Euler
- Posts: 622
- Joined: Fri Sep 28, 2007 11:23 pm
-
mihai miculita
- Pitagora
- Posts: 93
- Joined: Mon Nov 12, 2007 7:51 pm
- Location: Oradea, Romania
Reformulare echivalenta
O alta reformulare echivalenta a problemei, este urmatoarea:
Fie O si I centrele cercului circumscris si a cercului inscris intr-un triunghi oarecare ABC. Perpendiculara dusa din punctul I pe dreapta(raza) OA intersecteaza dreptele AB si AC in mod respectiv in punctele M si N. Sa se arate ca are loc relatia: |MN|=|BM|+|CN|.
Fie O si I centrele cercului circumscris si a cercului inscris intr-un triunghi oarecare ABC. Perpendiculara dusa din punctul I pe dreapta(raza) OA intersecteaza dreptele AB si AC in mod respectiv in punctele M si N. Sa se arate ca are loc relatia: |MN|=|BM|+|CN|.