Traian Lalescu 2008, problema 3

[bogdanl_yex]

Fie \( f:[0, \infty) \rightarrow (0, \infty) \) o functie continua si crescatoare. Aratati ca :

\( f(0) \int_{0}^{1}f(x)dx \leq \int_{0}^{1}f^{2}(x) dx \)

Constantin Buse

[Alin Galatan]

Integram \( f(x)f(0)\leq f^2(x) \).

[aleph]

Iar f nici nu trebuie să fie continuă; doar crescătoare pe [0,1].

[alex]

Se poate folosi inegalitatea lui Cebasev...apoi teorema de medie si faptul ca functia e crescatoare...

[Cezar Lupu]

Se poate folosi inegalitatea lui Cebasev...apoi teorema de medie si faptul ca functia e crescatoare...

Da, Alexandra, asa ma gandeam si eu. Chiar am vorbit de solutia asta cu Alin si Beni. Ma rog a mea este un pic diferita, anume:

Solutie.

Din inegalitatea Cauchy-Schwarz, avem \( \int_0^1f^{2}(x)dx\geq\left(\int_0^1f(x)dx\right)^2(*) \). Astfel, ne ramane sa demonstram ca

\( f(0)\leq\int_0^1f(x)dx \). Pe de alta parte, din teorema de medie, avem ca exista \( c\in (0,1) \) astfel incat \( f(c)=\int_0^1f(x)dx \), de unde folosind faptul ca \( f \) este crescatoare, avem concluzia problemei noastre. \( \qed \)

Observatie.

In cazul (*), inegalitatea Cauchy-Schwarz si Cebasev coincid.
Acest lucru se vede imediat, pentru ca aplicam Cebasev functiilor \( f \) si \( f \) care e acelasi lucru. Intr-adevar, avem
\( \int_0^1f^{2}(x)dx=\int_0^1f(x)\cdot f(x)dx\geq\int_0^1f(x)dx\cdot\int_0^1f(x)dx=\left(\int_0^1f(x)dx\right)^2 \).