Integrala din exponentiala

[Diana Putan]

Fie \( A\in M_{n}(\mathbb{R}) \) o matrice simetrica pozitiv definita. Aratati ca

\( \int_{\mathbb{R}^n}{\exp(-^{t}XAX)}dx_{1}\ldots dx_{n}=\frac{\pi^{\frac{n}{2}}}{\sqrt{\det A}}, \)

unde prin \( X \) s-a notat vectorul coloana cu coeficienti \( x_{1},\ldots,x_{n} \).


Admitere SNSB, 2001

[Consonant]

Sa presupunem pentru inceput ca \( A=\mbox{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n) \) este matrice diagonala cu \( \lambda_j>0 \) pentru toti indicii \( j=1,\ldots,n \) (deoarece matricea \( A \) este pozitiv definita). Atunci \( \int_{\mathbb{R}^n} \exp(-\langle Ax,x\rangle)d x=\int_{\mathbb{R}^n} \exp(\sum_{j=1}^n -\lambda_j x_j^2)dx_1\cdots dx_n=\bigprod_{j=1}^n \int_{\mathbb{R}} \exp(-\lambda_jx_j^2)dx_j=\bigprod_{j=1}^n \frac{\pi^{1/2}}{\sqrt{\lambda_j}}=\frac{\pi^{n/2}}{\sqrt{\det(A)}} \).

In general, daca \( A \) este o matrice pozitiv definita atunci exista o matrice ortogonala \( U \) de tip \( n\times n \) astfel incat \( UAU^*=\mbox{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n) \), unde \( \lambda_j>0 \), pentru \( j=1,\ldots,n \) sunt cele \( n \) valori proprii, numarate cu multiplicitati, ale matricei \( A \). In acest caz se face o schimbare de variabila \( x\mapsto Ux \) si integrala de calculat se reduce la cazul de mai sus.

O solutie riguroasa presupune considerarea integralei ca integrala Lebesgue, Teorema Fubini, si Teorema de schimbare de variabila pentru integrala Lebesgue, sau, daca dorim sa utlizam integrala Riemann, trebuie integrat pe bile de raza \( n \) si apoi se trece la limita cu \( n\rightarrow\infty \), considerand integrale improprii.