Fie \( 0\leq a < b <\infty \), \( k\in\mathbb{N}^* \) si \( f:[a,b]\to\mathbb{R} \) o functie monotona cu proprietatea ca \( \int_a^bx^nf(x)dx=0 \) pentru orice \( n\geq k \). Sa se arate ca \( f(x)=0 \) pentru orice \( x\in(a,b) \).
Concurs Gh. Titeica, 2000
PS 1. Am subliniat cuvantul monotona pentru a nu se confunda cu o alta problema cu enunt asemanator, dar in care functia era presupusa continua si a carei solutie este relativ simpla daca se foloseste teorema Weierstrass de aproximare a functiilor continue cu functii polinomiale.
PS 2. Problema apare si aici http://www.mathlinks.ro/viewtopic.php?s ... 393&t=4413, dar cele doua "solutii" sunt destul de greu de descifrat dupa parerea mea.
Functie monotona 1
Moderators: Bogdan Posa, Beniamin Bogosel, Marius Dragoi
Functie monotona 1
Last edited by bae on Mon Apr 14, 2008 11:17 am, edited 1 time in total.
O soluţie simplă dar puţin dincolo de "programa suplimentară" a olimpiadei (de care a mai fost vorba, programă care probabil va conţine în curând şi spaţiile Hilbert).
Presupunem f crescătoare. Notăm \( g(x) = x^k f(x) \). Rezultă \( \int_a^b pg = 0 \) pentru orice polinom \( p \). Mulţimea polinoamelor fiind densă în \( L^2[a,b] \) rezultă \( g=0 \) a.p.t. şi deci \( f=0 \) a.p.t.
Pentru \( a<x<b \) nu putem avea \( f(x)>0 \) căci ar rezulta \( f>0 \) pe \( [x,b] \) contrazicând f=0 a.p.t.
La fel se respinge şi cazul \( f(x)<0 \). Rămâne că \( f(x)=0 \).
Presupunem f crescătoare. Notăm \( g(x) = x^k f(x) \). Rezultă \( \int_a^b pg = 0 \) pentru orice polinom \( p \). Mulţimea polinoamelor fiind densă în \( L^2[a,b] \) rezultă \( g=0 \) a.p.t. şi deci \( f=0 \) a.p.t.
Pentru \( a<x<b \) nu putem avea \( f(x)>0 \) căci ar rezulta \( f>0 \) pe \( [x,b] \) contrazicând f=0 a.p.t.
La fel se respinge şi cazul \( f(x)<0 \). Rămâne că \( f(x)=0 \).