Sa se determine \( z \in \mathbb{C} \) stiind ca \( |1+z^{2n+1}| \leq 1 \) pentru orice \( n \in \mathbb{N} \).
[Costel Chites, ONM Shortlist 2004]
([Editat de Filip C.] : am modificat sursa)
Aflati numarul complex z
Moderators: Filip Chindea, Andrei Velicu, Radu Titiu
-
Marius Dragoi
- Thales
- Posts: 126
- Joined: Thu Jan 31, 2008 5:57 pm
- Location: Bucharest
Aflati numarul complex z
Politehnica University of Bucharest
The Faculty of Automatic Control and Computers
The Faculty of Automatic Control and Computers
-
Laurian Filip
- Site Admin
- Posts: 344
- Joined: Sun Nov 25, 2007 2:34 am
- Location: Bucuresti/Arad
- Contact:
Fie \( z=r(\cos a+i\sin a) \).
Daca \( r=0 \), rezulta \( z=0 \) si este solutie.
Pentru \( r\geq 0 \)
\( |1+z^{2n+1}|=|1+r^{2n+1}(\cos(2n+1)a+i\sin(2n+1)a)| \)
Pentru ca modulul sa fie mai mic sau egal ca 1 si partea reala si cea imaginara trebuie sa fie mai mici sau egale ca 1 (egale cu 1 cand cealalta e 0).
Rezulta \( \cos(2n+1)a \) este negativ sau 0.
Pentru n=0 avem \( a\in\ \[\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\] \). Impartind acest interval in alte intervale mai mici pentru fiecare dintre ele vom gasi un n astfel incat \( \cos(2n+1)a \) sa fie pozitiv sau 0. Se arata destul de usor prin inductie...
Raman doar cazurile:
I. \( a=\frac{\pi}{2} \) sau \( a=\frac{3\pi}{2} \), cand partea reala a lui \( 1+z^{2n+1} \) este \( 1 \).
Dar in ambele cazuri \( \sin(2n+1)a\neq 0 \), de unde si modulul este supraunitar.
II. \( a=\pi \)
\( z=|1-r^{2n+1}| \) care este real si gasim \( z=[-1,0) \).
Asadar solutia este \( z\in [-1,0] \).
Daca \( r=0 \), rezulta \( z=0 \) si este solutie.
Pentru \( r\geq 0 \)
\( |1+z^{2n+1}|=|1+r^{2n+1}(\cos(2n+1)a+i\sin(2n+1)a)| \)
Pentru ca modulul sa fie mai mic sau egal ca 1 si partea reala si cea imaginara trebuie sa fie mai mici sau egale ca 1 (egale cu 1 cand cealalta e 0).
Rezulta \( \cos(2n+1)a \) este negativ sau 0.
Pentru n=0 avem \( a\in\ \[\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\] \). Impartind acest interval in alte intervale mai mici pentru fiecare dintre ele vom gasi un n astfel incat \( \cos(2n+1)a \) sa fie pozitiv sau 0. Se arata destul de usor prin inductie...
Raman doar cazurile:
I. \( a=\frac{\pi}{2} \) sau \( a=\frac{3\pi}{2} \), cand partea reala a lui \( 1+z^{2n+1} \) este \( 1 \).
Dar in ambele cazuri \( \sin(2n+1)a\neq 0 \), de unde si modulul este supraunitar.
II. \( a=\pi \)
\( z=|1-r^{2n+1}| \) care este real si gasim \( z=[-1,0) \).
Asadar solutia este \( z\in [-1,0] \).
Last edited by Laurian Filip on Wed Apr 09, 2008 5:27 pm, edited 2 times in total.