Fie \( a > 1 \) un număr real. Pentru fiecare număr natural nenul \( n \) notăm prin \( k(n) \) cel mai mic număr natural \( k \) pentru care \( (n + 1)^k \geq an^k \). Să se calculeze \( {\lim_{n \to \infty } {\frac{k(n)}{n}}} \).
Neculai Hârţan
Concursul "Al. Myller" problema 3
Moderators: Bogdan Posa, Laurian Filip, Beniamin Bogosel, Radu Titiu, Marius Dragoi
-
Bogdan Cebere
- Thales
- Posts: 145
- Joined: Sun Nov 04, 2007 1:04 pm
-
Radu Titiu
- Thales
- Posts: 155
- Joined: Fri Sep 28, 2007 5:05 pm
- Location: Mures \Bucuresti
\( (n+1)^{k(n)} \geq an^{k(n)} \Rightarrow k(n) \geq \frac{\ln a}{\ln (1+\frac{1}{n})} \). Deoarece k(n) trebuie sa fie cel mai mic numar natural care satisface aceasta inegalitate rezulta dubla inegalitate:
\( 1+\left [ \frac{\ln a}{\ln(1+\frac{1}{n})}\right] \geq k(n) \geq \frac{\ln a}{\ln (1+\frac{1}{n})} \).
Impartind la n si trecand la limita deducem \( \lim_{n\to\infty}\frac{k(n)}{n}=\ln a \).
\( 1+\left [ \frac{\ln a}{\ln(1+\frac{1}{n})}\right] \geq k(n) \geq \frac{\ln a}{\ln (1+\frac{1}{n})} \).
Impartind la n si trecand la limita deducem \( \lim_{n\to\infty}\frac{k(n)}{n}=\ln a \).
A mathematician is a machine for turning coffee into theorems.