Concursul "Al. Myller" problema 1

[Bogdan Cebere]

Se consideră şirul \( ( a_n )_{n \in N*} \) \( a_n={\int_1^n}{\frac{dx}{(1+x^2)^n}} \). Calculaţi \( {\lim_{n \to \infty} n2^na_n} \).

Bogdan Enescu

[Marius Mainea]

Din inegalitatea \( \frac{2x}{(1+x^2)^{n+1}}\le \frac{1}{(1+x^2)^n}\le \frac{x}{(1+x^2)^n} \) prin integrare si cu criteriul ,,clestelui'' obtinem

\( \lim_{n\to\infty}n2^na_n=1 \)