Ecuatie exponentiala cu segmente

[turcas]

In dreptunghiul \( ABCD \) notam cu \( E \) proiectia varfului \( D \) pe diagonala \( [AC] \), iar cu \( F \) si \( G \) proiectiile punctului \( E \) pe laturile \( [AB] \) si \( [BC] \). Sa se rezolve in multimea numerelor rationale ecuatia:

\( |AC|^x = |EF|^x + |EG|^x \). (Dan Branzei)

Test, TABARA DE MATEMATICA, Zalau, 4-7 Februarie 2008

[Tudor Micu]

Fie AB=a BC=b
Din teorema catetei in \( \triangle ADC \) avem ca \( AE=\displaystyle\frac{b^2}{AC} \) si \( CE=\displaystyle\frac{a^2}{AC} \)
Din \( \triangle CEG\sim\triangle CAB \) avem \( \displaystyle\frac{EG}{a}=\frac{CE}{AC}=\frac{a^2}{AC^2}=\frac{a^2}{a^2+b^2} \)
Din \( \triangle AEF\sim\triangle ACB \) avem \( \displaystyle\frac{EF}{b}=\frac{AE}{AC}=\frac{b^2}{AC^2}=\frac{b^2}{a^2+b^2} \)
Astfel, va trebui sa gasim x rational astfel incat:
\( (a^2+b^2)^{\displaystyle\frac{x}{2}}=\frac{b^{3x}}{(a^2+b^2)^{x}}+\frac{a^{3x}}{(a^2+b^2)^{x}} \)
Deci \( a^{3x}+b^{3x}=(a^2+b^2)^{\displaystyle\frac{3x}{2}} \)
Observam ca \( x=\frac{2}{3} \) este solutie. Vom demonstra ca e unica.
Impartim in ambii termeni cu (a^2+b^2)^{\displaystyle\frac{3x}{2}}:
\( (\displaystyle\frac{a^2}{a^2+b^2})^{\frac{3x}{2}}+(\displaystyle\frac{b^2}{a^2+b^2})^{\frac{3x}{2}}=1 \)
Membrul stang este evident descrescator, ca suma de doua functii descrescatoare, de unde rezulta ca avem o singura solutie, care este \( \frac{2}{3} \)