Inel cu n elemente, unde n este liber de patrate

[Alex Dura]

Fie \( (A,+,\cdot) \) un inel cu \( n \) elemente. Demonstrati ca daca \( n \) este liber de patrate atunci \( A \approx \mathbb{Z} _{n} \).

[bae]

Chiar daca xy=0 pentru orice doua elemente x, y ale lui A?

Se stie insa ca un astfel de inel este comutativ; vezi C. Baetica, S. Dascalescu - Probleme de algebra, Bucuresti 1993, Capitolul 4, problema 3.

[Alex Dura]

Imi cer scuze, am uitat sa precizez ca inelul este unitar.

[bae]

Pai atunci facem asa: \( (A,+) \) este grup ciclic (de ce ?), deci izomorf cu \( Z_n \). Acum nu avem decat sa ne intrebam cum arata structurile de inel unitar pe grupul \( Z_n \). Sunt in numar de \( \varphi(n) \) si toate izomorfe intre ele; vezi C. Baetica, S. Dascalescu - Probleme de algebra, Bucuresti 1993, Capitolul 4, problema 2.

[Alin Galatan]

Voi demonstra prin inductie faptul ca A este izomorf cu \( Z_n \).
Consideram adevarat pentru toata inelele de cardinal \( <n \) si demonstram pentru cele de cardinal n.
Evident pentru n=1 este adevarat.
Intrucat <1> este subgrup al lui (A,+) si are ordin k > 1 (altfel 1=0) putem vorbi de \( A/<1> \) care este tot un grup, de cardinal \( \frac{n}{k} \). Din ipoteza de inductie stim ca acesta este izomorf cu \( Z_{\frac{n}{k}} \). Evident <1> e izomorf cu \( Z_k \), deci \( A\approx Z_k\times Z_{n/k} \). Dar \( (k,\frac{n}{k})=1 \), deci \( Z_k\times Z_{\frac{n}{k}}\approx Z_{n} \).

[Alin Galatan]

Nici nu e de fapt nevoie de faptul ca e inel unitar, e suficient sa demonstram ca un grup abelian de ordin liber de patrate e ciclic.

[Dragos Fratila]

e suficient sa demonstram ca un grup abelian de ordin liber de patrate e ciclic

Asta e evident din teorema de structura a grupurilor abeliene finit generate.

[Alin Galatan]

Nu doream sa o folosesc, deoarece nu ii stiu demonstratia.
Desi... cred ca pana la urma, se face tot cum am gandit eu chestia aia. Iei un generator x, factorizezi la <x> si aplici ipoteza de inductie pentru grupul factor(care e tot comutativ, finit generat, si cu mai putini generatori).

[Dragos Fratila]

Sau pur si simplu pt. fiecare p prim care divide pe n iei un element x(p) care are ordinul p, dupa care elementul \( x(p_1)x(p_2)\dots x(p_k) \), unde \( p_i \) sunt toti factorii primi ai lui n, va avea ordinul ... ?

[Alin Galatan]

Da, este doar pentru grupul (A, +), dar mi se pare evident ca daca grupul aditiv e ciclic, atunci se poate defini o unica inmultire care sa il faca inel si acea operatie este echivalentul inmultirii din \( Z_n \).