Fie \( f: (0, \infty)\to\mathbb{R} \) o functie continua cu proprietatea ca pentru orice \( x\in (0, \infty) \) sirul \( (f(nx))_{n\in\mathbb{N}^{*} \) este crescator. Sa se arate ca \( f \) este crescatoare.
ONM 2006 (problema 4) (caz special al lemei lui Croft)
Problema 1 ONM 2008
Moderators: Bogdan Posa, Laurian Filip, Beniamin Bogosel, Radu Titiu, Marius Dragoi
-
Cezar Lupu
- Site Admin
- Posts: 612
- Joined: Wed Sep 26, 2007 2:04 pm
- Location: Bucuresti sau Constanta
- Contact:
Problema 1 ONM 2008
An infinite number of mathematicians walk into a bar. The first one orders a beer. The second orders half a beer. The third, a quarter of a beer. The bartender says “You’re all idiots”, and pours two beers.
-
Cezar Lupu
- Site Admin
- Posts: 612
- Joined: Wed Sep 26, 2007 2:04 pm
- Location: Bucuresti sau Constanta
- Contact:
As sugera mai degraba rezolvarea urmatoarei probleme din lista scurta a Olimpiadei din anul 2006, care spune asa: 
Fie \( f: (0, \infty)\to\mathbb{R} \) o functie cu proprietatea ca pentru orice \( a, b\in\mathbb{R}, a<b \), exista \( c\in (a, b) \) astfel incat \( f \) este continua in \( c \). Sa se arate ca daca sirul \( (f(nx))_{n\in\mathbb{N}^{*}} \) este crescator, atunci \( f \) este crescatoare.
Fie \( f: (0, \infty)\to\mathbb{R} \) o functie cu proprietatea ca pentru orice \( a, b\in\mathbb{R}, a<b \), exista \( c\in (a, b) \) astfel incat \( f \) este continua in \( c \). Sa se arate ca daca sirul \( (f(nx))_{n\in\mathbb{N}^{*}} \) este crescator, atunci \( f \) este crescatoare.
An infinite number of mathematicians walk into a bar. The first one orders a beer. The second orders half a beer. The third, a quarter of a beer. The bartender says “You’re all idiots”, and pours two beers.
Re: Problema 1 ONM 2008
Nu stiu exact la ce lema a lui Croft faci referire! Eu vad problema aici: Gh. Siretchi - Analiza Matematica, vol. II, Exercitii avansate de calcul diferential si integral, Tipografia Universitatii Bucuresti, 1982. Este problema 6.10' (dupa lema lui Croft, care este problema 6.10, dar nu pare a fi vreo legatura intre ele.Cezar Lupu wrote:ONM 2006 (problema 4) (caz special al lemei lui Croft)
)