Un hexagon convex ABCDEF are toate laturile de lungime 1. Demonstrati ca una dintre razele cercurilor circumscrise triunghiurilor ACE si BDF are lungimea cel putin 1.
Kvant
Romanian TST I 2008, Problema 3
Moderators: Laurian Filip, Filip Chindea, maky, Cosmin Pohoata, Virgil Nicula
-
Laurian Filip
- Site Admin
- Posts: 344
- Joined: Sun Nov 25, 2007 2:34 am
- Location: Bucuresti/Arad
- Contact:
-
Beniamin Bogosel
- Co-admin
- Posts: 710
- Joined: Fri Mar 07, 2008 12:01 am
- Location: Timisoara sau Sofronea (Arad)
- Contact:
Mie mi se pare ca am facut-o la lot in a 7-a cu domnul prof. Dinu Serbanescu.
Solutia mea e simpla si scurta.
Folosim urmatoarea lema:
Daca \( XYZT \) este un patrulater convex cu \( XY=XT=1 \) si \( ZY=ZT=R<1 \) atunci \( \angle{YXT}<\angle{YZT} \).
Lema se demonstreaza usor cu teorema cosinusului, tinand cont ca functia cos e descrescatoare pe \( [0,\pi] \).
Acum presupunem ca \( R<1,R^\prime<1 \), razele celor doua cercuri circumscrise triunghiurilor \( ACE, BDF \) si folosind lema obtinem ca
\( \angle{A}+\angle{C}+\angle{E}<360 \\
\angle{B}+\angle{D}+\angle{F}<360 \) si adunand aceste inegalitati obtinem ca suma unghiurilor hexagonului este mai mica decat 720. Contradictie!
Solutia mea e simpla si scurta.
Folosim urmatoarea lema:
Daca \( XYZT \) este un patrulater convex cu \( XY=XT=1 \) si \( ZY=ZT=R<1 \) atunci \( \angle{YXT}<\angle{YZT} \).
Lema se demonstreaza usor cu teorema cosinusului, tinand cont ca functia cos e descrescatoare pe \( [0,\pi] \).
Acum presupunem ca \( R<1,R^\prime<1 \), razele celor doua cercuri circumscrise triunghiurilor \( ACE, BDF \) si folosind lema obtinem ca
\( \angle{A}+\angle{C}+\angle{E}<360 \\
\angle{B}+\angle{D}+\angle{F}<360 \) si adunand aceste inegalitati obtinem ca suma unghiurilor hexagonului este mai mica decat 720. Contradictie!