Problema 1 ONM 2008

[Cezar Lupu]

Fie \( a>0 \) si \( f:[0,\infty)\to [0,a] \), continua pe \( (0, \infty) \) si cu proprietatea lui Darboux pe \( [0, \infty) \). Sa se arate ca daca
\( f(0)=0 \) si \( xf(x)\geq\int_0^xf(t)dt \), oricare ar fi \( x\in [0, \infty) \),
atunci \( f \) admite primitive pe \( [0, \infty) \).


Dorin Andrica, Mihai Piticari

[Beniamin Bogosel]

Am nevoie rapid de un exemplu de functie cu proprietatile din enunt, care nu are limita in 0,... sau daca nu exista asa ceva, o indicatie de demonstratie pentru asta.

In concurs, multi au vrut sa demonstreze ca \( f \) are limita in 0.

[Dragos Fratila]

Cred ca \( f(x)=\sin(1/x),\ x>0 \) si \( f(0)=0 \) merge.

[Beniamin Bogosel]

Pai trebuie sa fie pozitiv definita...

[Cezar Lupu]

M-am decis sa postez cateva remarci care duc la rezolvarea efectiva a problemei.

Remarca 1.

Exista o problema de clasa a XI-a dintr-o cartulie mai veche, mai precis din 1999 (nu zic editura ca nu-mi place de cine este condusa), problema 34, pagina 29, a lui Cristinel Mortici care spune asa:

Fie \( f:[0, \infty)\to\mathbb{R} \) o functie continua pe \( (0, \infty) \). Atunci urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

a) \( f \) are proprietatea lui Darboux;

b) exista un sir \( (a_{n})_{n\geq 1} \) de numere strict pozitive cu \( \lim_{n\to\infty}a_{n}=0 \) si \( \lim_{n\to\infty}f(a_{n})=f(0) \).

Remarca 2.

La Olimpiada Nationala din anul 2003 a fost data urmatoarea problema (o parte!):

Fie \( f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \) o functie continua cu proprietatea

\( xf(x)\geq\int_0^xf(t)dt, \) pentru orice \( x\in\mathbb{R} \).

a) Atunci functia \( g(x)=\frac{1}{x}\int_0^xf(t)dt \), este crescatoare pe intervalele \( (-\infty, 0) \) si \( (0, \infty) \).

Cum rezolvam problema data la Olimpiada? Simplu. Combinati ce am zis eu mai sus si iese imediat.

[Beniamin Bogosel]

Pentru remarca 1 (implicatia care ne trebuie in problema...)
Fie \( x_n \to 0 \) un sir descrescator strict de numere reale. Presupunem ca \( f(x)>0 \) pentru \( x>0 \). Altfel, daca exista un \( x>0 \) pentru care \( f(x)=0 \), din inegalitate rezulta ca \( \int_0^xf(t)dt=0 \), adica daca scriem integrala Riemann vom avea limita sumelor Riemann egala cu 0 si cum \( f(t)\geq 0 \forall t\geq 0 \), \( f \) va fi constanta 0 pe \( [0,x] \) si astfel continua in 0, de unde rezulta ceea ce doream sa demonstram.

Altfel, fie \( (y_n) \) cu \( y_n>0,\forall n \) cu \( f([0,x_n])=[0,y_n] \) (\( f \) are Darboux pe orice interval inclus in \( [0,\infty) \))

Fie \( 0\leq z_n=\min\{x_n,y_n\} \leq x_n\to 0 \). Atunci putem alege \( a_n \in (0,x_n] \) cu \( f(a_n) \in [0,z_n] \). Atunci \( a_n\to 0 \) si \( f(a_n)\to 0 \).

[Beniamin Bogosel]

Deoarece am fost la corectat la problema aceasta, am cateva sfaturi pentru cei care vor mai participa la olimpiade:

1) Daca stiti unele rezultate, ca si remarca 1, demonstrati-le! (In concurs nu am vazut demonstratii la remarca 1; unii ziceau doar ca se demonstreaza usor...)

2) Nu mai scrieti enunturile problemelor. Nu se dau puncte pe asa ceva...

3) Incercati sa evitati urmatoarele:
- sa spuneti ca o functie continua e derivabila
- sa derivati cand functia nu este derivabila
- sa scrieti mult cand nu stiti unde vreti sa ajungeti, doar, doar se indura cineva si va da ceva puncte
- sa folositi unele teoreme fara sa le afirmati sau sa le demonstrati, daca nu sunt cunoscute.

4) Invatati cum trebuie teoremele de medie si l'Hospital. Foarte multi folosesc l'Hospital invers... si chiar si la contestatii au intrebat ca de ce nu e bine asa.

E olimpiada nationala, fratilor. Se subintelege ca cei care vin aici sunt cei mai buni din judetele tarii. Daca voi scrieti asa prostii in lucrari la nationala, ce se intampla cu ceilalti???? Cred ca o sa fie tragedii in urmatorii ani la nationala si la BAC, daca nu se pune lumea sa invete matematica asa cum trebuie.