Problema 3 ONM 2008

[Beniamin Bogosel]

Fie \( n\in \mathbb{N}^* \) si numerele reale \( a_i,\ i=1..n \) cu \( |a_i|\leq1 \) si \( \sum_{i=1}^na_i=0 \).

Aratati ca \( \sum_{i=1}^n|x-a_i|\leq n \) oricare ar fi \( x \in \mathbb{R} \) cu \( |x|\leq 1 \).

[Beniamin Bogosel]

Se poate rezolva problema destul de simplu, daca de-modulam...

Conditiile problemei ne permit sa presupunem ca \( a_1\leq a_2\leq...\leq a_n \).

Avem cazurile \( x\leq a_1 \)
\( x\geq a_n \)
\( a_i\leq x \leq a_{i+1} \)

Pentru primul inegalitatea devine \( -nx\leq n \), care e adevarata din \( |x|\leq 1 \).

Pentru al doilea inegalitatea devine \( nx\leq n \), care e deasemenea adevarata.

Pentru al treilea, inegalitatea devine
\( ix-\sum_{k=1}^ia_k-(n-i)x-\sum_{k=i+1}^na_k=(2i-n)x-2\sum_{k=1}^ia_k \)
care este o functie de gradul cel mult 1 (poate fi si constanta...) in \( x \) si isi atinge maximul pe [-1,1] intr-unul din capete.
Notam \( f(x)=(2i-n)x-2\sum_{k=1}^ia_k \).

Avem \( f(1)=2i-n-2\sum_{k=1}^na_k\leq n \Leftrightarrow i-\sum_{k=1}^ia_k\leq n \Leftrightarrow \sum_{k=i+1}^na_k\leq n-i \) care este adevarata pentru ca \( a_j\leq |a_j|\leq 1,\forall j \).

\( f(-1)=n-2i-2\sum_{k=1}^ia_k\leq n \Leftrightarrow \sum_{k=1}^ia_k\geq -i \), care deasemenea este adevarata, din ipoteza. Astfel problema noastra e rezolvata...

[mihai++]

\( F(x)=\sum |x-a_i| \) este convexa si deci isi atinge maximul in capetele intervalului.
Cum \( F(1)=F(-1)=n \), problema e rezolvata.

[Beniamin Bogosel]

Demonstreaza ca e convexa. Afirmatii in vant asa, numai sa fie puse aici. Nu zic ca nu-i corect, dar demonstreaza.