Pe laturile triunghiului \( ABC \) se considera punctele \( C_1,C_2 \in (AB),\ B_1,B_2 \in (AC),\ A_1,A_2 \in (BC) \) astfel incat triunghiurile \( A_1B_1C_1,\ A_2B_2C_2 \) sa aiba acelasi centru de greutate.
Aratati ca multimile \( [A_1B_1]\cap[A_2B_2],\ [B_1C_1]\cap [B_2C_2],\ [C_1A_1]\cap [C_2A_2] \) sunt nevide.
Problema 4 OMN 2008
Moderators: Laurian Filip, Beniamin Bogosel, Filip Chindea
-
Beniamin Bogosel
- Co-admin
- Posts: 710
- Joined: Fri Mar 07, 2008 12:01 am
- Location: Timisoara sau Sofronea (Arad)
- Contact:
Si aceasta a fost o problema usoara.
Solutia este imediata si cat se poate de naturala.
Este stiut ca doua triunghiuri \( X_1Y_1Z_1 \) si \( X_2Y_2Z_2 \) au acelasi centru de greutate \( \Leftrightarrow \vec{X_1X_2}+\vec{Y_1Y_2}+\vec{Z_1Z_2}=\vec{0}. \) Deci in problema noastra \( \vec{A_1A_2}+\vec{B_1B_2}+\vec{C_1C_2}=\vec{0} \) \( (*) \). Punem\( \vec{A_1A_2}=\alpha\vec{BC}, \vec{B_1B_2}=\beta\vec{CA}, \vec{C_1C_2}=\gamma\vec{AB} \) \( (**) \). Explicitand \( (*) \) in functie de \( (**) \) reiese ca \( \alpha=\beta=\gamma, \) adica segmentele \( A_1A_2 \) si \( BC \) sunt la fel orientate etc.
Solutia este imediata si cat se poate de naturala.
Este stiut ca doua triunghiuri \( X_1Y_1Z_1 \) si \( X_2Y_2Z_2 \) au acelasi centru de greutate \( \Leftrightarrow \vec{X_1X_2}+\vec{Y_1Y_2}+\vec{Z_1Z_2}=\vec{0}. \) Deci in problema noastra \( \vec{A_1A_2}+\vec{B_1B_2}+\vec{C_1C_2}=\vec{0} \) \( (*) \). Punem\( \vec{A_1A_2}=\alpha\vec{BC}, \vec{B_1B_2}=\beta\vec{CA}, \vec{C_1C_2}=\gamma\vec{AB} \) \( (**) \). Explicitand \( (*) \) in functie de \( (**) \) reiese ca \( \alpha=\beta=\gamma, \) adica segmentele \( A_1A_2 \) si \( BC \) sunt la fel orientate etc.