Suprafete triunghiulare
Moderators: Laurian Filip, Beniamin Bogosel, Filip Chindea
-
BogdanCNFB
- Thales
- Posts: 121
- Joined: Wed May 07, 2008 4:29 pm
- Location: Craiova
Suprafete triunghiulare
Suprafata unui triunghi se imparte arbitrar in n suprafete triunghiulare cu interioare disjuncte. Fie \( h_{1}, h_{2}, ..., h_{n} \) cele mai mici inaltimi ale triunghiurilor din partitie si h cea mai mica inaltime a triunghiului dat. Demonstrati ca \( h_{1}+h_{2}+...+h_{n}\ge h \).
-
Laurian Filip
- Site Admin
- Posts: 344
- Joined: Sun Nov 25, 2007 2:34 am
- Location: Bucuresti/Arad
- Contact:
Evident, din formula ariei, inaltimea cea mai mica intr-un triunghi este cea care cade pe latura cea mai mare. Presupunem ca AB este cea mai mare latura din triunghi.
Intr-un tringhi nu exista 2 puncte care sa formeze un segment mai lung decat cea mai mare latura a triunghiului. (Ducem un cerc de diametru AB)
Aria totala a triunghiului este egala si cu suma arilor celor n triunghiuri. Notand \( b_i \) latura pe care este perpendiculara \( h_i \) obtinem
\( \sum_{k=1}^n h_i \cdot b_i=h \cdot AB \).
Dar stim ca \( b_i \leq AB \).
Rezulta \( h \cdot AB \leq \sum_{k=1}^n AB \cdot h_i \)
adica \( \sum_{k=1}^n h_i \geq h \).
Intr-un tringhi nu exista 2 puncte care sa formeze un segment mai lung decat cea mai mare latura a triunghiului. (Ducem un cerc de diametru AB)
Aria totala a triunghiului este egala si cu suma arilor celor n triunghiuri. Notand \( b_i \) latura pe care este perpendiculara \( h_i \) obtinem
\( \sum_{k=1}^n h_i \cdot b_i=h \cdot AB \).
Dar stim ca \( b_i \leq AB \).
Rezulta \( h \cdot AB \leq \sum_{k=1}^n AB \cdot h_i \)
adica \( \sum_{k=1}^n h_i \geq h \).