Doua cercuri si patru puncte conciclice

[Vlad Matei]

Se dau in plan doua cercuri \( \omega_{1} \) si \( \omega_{2} \) de centre \( O_{1} \) si \( O_{2} \) care nu se intersecteaza. Fie \( A_{1}A_{2} \) tangenta comuna exterioara cu \( A_{1} \in \omega_{1} \) si \( A_{2} \in \omega_{2} \) si fie \( K \) mijlocul segmentului \( A_{1} A_{2} \). Din \( K \) ducem celelalte doua tangente la cercuri, respectiv \( KB_{1} \) si \( KB_{2} \), \( B_{1} \in \omega_{1} \), \( B_{2} \in \omega_{2} \). Fie \( A_{1}B_{1}\cap A_{2}B_{2}=\{L\} \) si \( KL\cap O_{1}O_{2}=\{P\} \). Demonstrati ca punctele \( B_{1},P,B_{2},L \) sunt conciclice.

Zhautykov Olympiad, 2008

[Beniamin Bogosel]

Dupa cate inteleg eu, problema poate fi reformulata astfel:

Fie \( S \) un semicerc de centru \( K \), cu diametrul \( A_1A_2 \) si \( B_1,B_2 \) doua puncte pe \( S \) astfel incat \( B_1 \) apartine arcului determinat de \( A \) si \( B_2 \). Se definesc \( O_1,O_2 \) ca fiind intersectiile dintre tangentele din \( A_1,B_1 \), respectiv \( A_2,B_2 \) la \( S \).
Fie \( \{L\}=A_1B_1\cap A_2B_2 \) si \( \{P\}=O_1O_2 \cap KL \). Demonstrati ca punctele \( L,B_1,B_2,P \) sunt pe un acelasi cerc.

Solutie: Daca \( A_1A_2||B_1B_2 \) atunci din simetrie, problema este usoara, pentru ca \( P \) este ortocentrul triunghiului \( A_1A_2L \). In continuare, consideram ca aceste drepte nu sunt paralele si luam \( X \) intersectia lor.

Deoarece \( O_1,O_2 \) sunt polii dreptelor \( A_1B_1,A_2B_2 \) in raport cu \( S \), rezulta ca \( O_1O_2 \) este polara punctului \( L \) in raport cu \( S \) si \( LK\perp O_1O_2 \). De aici, rezulta ca \( O_1O_2 \) este polara unghiulara a lui \( L \) in raport cu unghiul \( A_1XB_1 \) si prin urmare, daca \( \{Y\}=A_1B_2\cap A_2B_1 \), atunci \( Y\in O_1O_2 \). Deoarece \( A_1B_1\perp A_2B_1 \) si \( A_1B_2\perp A_2B_2 \), rezulta ca \( Y \) este ortocentrul triunghiului \( A_1LA_2 \). Deci patrulaterul \( LB_1YB_2 \) este inscriptibil. (1)

Acum, fie \( Z\in O_1O_2\cap LA_1 \). Atunci \( Z \) apartine polarei lui \( L \) in raport cu \( S \) si astfel diviziunea \( (A_1,B_1,Z,L) \) este armonica si fascicolul \( PA_1,PB_1,PZ,PL \) este armonic. Deoarece \( LP\perp PZ \) rezulta ca \( \widehat{A_1PZ}\equiv \widehat{B_1PZ} \) (acest lucru rezulta din proprietatile unui fascicul armonic...).

Atunci urmatoarele unghiuri sunt congruente:
\( \widehat{B_1PZ}\equiv \widehat{A_1PZ}\equiv\widehat{A_1PO_1}\equiv \widehat{A_1KO_1}\equiv \widehat{O_1B_1A_1}\equiv \widehat{A_1A_2B_1}\equiv \widehat{A_1B_2B_1} \)
unde am folosit aproape toate proprietatile figurii: patrulaterele \( A_1KPO_1,A_1KB_1O_1, A_1A_2B_2B_1 \) sunt inscriptibile si \( B_1O_1 \) este tangenta la \( S \).

Daca ne uitam la primul si ultimul unghi din egalitate, rezulta ca punctele \( B_1,B_2,P,Y \) sunt pe acelasi cerc, care combinata cu (1), ne da concluzia cautata.


Poate ca pare cam complicata rezolvarea, dar nu mi-a luat mai mult de 5 minute sa gasesc ideea, desi sunt incepator cu chestii de-astea de geometrie proiectiva: pol, polara, diviziune armonica. Propun sa se deschida un topic numai cu astfel de probleme, pentru cei care vor sa invete. Repet, desi multe lucruri din cele ce am scris mai sus sunt complicate (pt un necunoscator...), totul e logic cu o figura in fata si cu un minim teoretic de notiuni, si evident de probleme rezolvate, cu acestea...

[Filip Chindea]

Poate se pare cam complicata rezolvarea, dar nu mi-a luat mai mult de 5 minute sa gasesc ideea, desi sunt incepator cu chestii de-astea de geometrie proiectiva: pol, polara, diviziune armonica. Propun sa se deschida un topic numai cu astfel de probleme, pentru cei care vor sa invete. Repet, desi multe lucruri din cele ce am scris mai sus sunt complicate (pt un necunoscator...), totul e logic cu o figura in fata si cu un minim teoretic de notiuni, si evident de probleme rezolvate, cu acestea...

Ceea ce probabil solicitai este un topic in care sa fie listate principalele fapte de geometrie proiectiva abordate elementar (se poate vorbi formal doar aici) - o singura discutie despre toate aceste probleme ar duce la o amestecatura pe un numar nepotrivit de pagini - sa nu uitam ca doar printre rezultatele elementare sunt suficiente care pot fi astfel solutionate.

In post-ul tau s-a trecut prin suficiente rezultate, fiind cam multe deductii pentru a o face usor de vazut pentru majoritatea elevilor (in doar cateva minute), desi de fapt ai demonstrat chiar mai mult - rezolvarea era aproape terminata o data cu observatia ca \( A_1A_2B_2B_1 \) este ciclic.

De aici, \( LB_1 \cdot LA_1 = LB_2 \cdot LA_2 \). Astfel, \( KL \) este chiar axa radicala a \( \omega_{1,2} \), de unde \( KPO_1 = \pi/2 = KB_1O_1 \). O observatie de un moment arata ca \( P, K, A_1, O_1, B_1 \) sunt conciclice.

Conform unui rezultat cunoscut, \( A_1KPB_1 \), \( A_2KPB_2 \) inscriptibile implica direct concluzia.

Mi-a luat ceva mai mult de 5 minute sa "gatesc" solutia asta , in orice caz, pare potrivita pentru problema simpla de la un test tip seniori.

[Beniamin Bogosel]

Nu m-am gandit la un topic ca cel de la facultate..., ci unul in care sa fie postate probleme care folosesc in demonstratia lor polara, pol si diviziune armonica. Pentru cei care nu stiu despre ce e vorba, cartea Boskoff-Nicolescu - Probleme practice de geometrie, contine toate definitiile necesare pentru a intelege solutia de mai sus.
Dar numai teorie nu e indeajuns... dupa un numar de aplicatii facute, notiunile pot fi intelese. De exemplu, in cartea "Diviziune armonica" scrisa de domnii Virgil Nicula si Cosmin Pohoata sunt o gramada de aplicatii...

Aceste elemente (pol, polara, etc...) pot ajuta la rezolvarea unei parti din problema in timp foarte scurt (concurenta unor drepte, perpendicularitate,...), iar ce mai ramane din problema, e mult mai simplu (de obicei).

Acesta este motivul pentru care incurajez pe cei care nu stiu aceste notiuni sa le invete, daca vor sa poata rezolva unele probleme de geometrie mai grele, de tip baraj, etc.