Fie \( A\in M_2(\mathbb{Q}) \) cu proprietatea ca det\( (A^2-2I_2) \)=0.
Sa se arate ca \( A^2=2I_2 \) si detA=-2.
Matrice cu elemente rationale
Moderators: Bogdan Posa, Laurian Filip, Beniamin Bogosel, Radu Titiu, Marius Dragoi
-
Alin Galatan
- Site Admin
- Posts: 247
- Joined: Tue Sep 25, 2007 9:24 pm
- Location: Bucuresti/Timisoara/Moldova Noua
o sa incerc sa nu folosesc valori proprii direct, insa e foarte probabil sa gresesc la calcule.
Consider polinomul \( p(X) = \det ( A - XI ) \) , care este un polinom de gradul doi, cu coeficienti rationali, monic.
Am ca \( p(\sqrt 2)\cdot p(-\sqrt2)=0 \), insa \( p \in\mathbb{Q}[X] \), deci \( p(\sqrt2)=p(-\sqrt2)=0 \). Atunci \( \det (A\pm \sqrt2\cdot I ) = 0 \).
Aplic teorema Hamilton-Cayley pt matricele \( A+\sqrt2 \cdot I \) si \( A-\sqrt2 \cdot I \) apoi se desfac parantezele si se prelucreaza putin relatiile. Se ajunge la
\( A^2 - A\cdot \mbox{tr}A - 2I=O \). Deci \( \det A = -2 \) (tot din Hamilton-Cayley, de data aceasta pentru \( A \)).
Acum folosindu-ma de asta, prin inlocuire se obtine si ca \( \mbox{tr}A=0 \). De aici rezulta si ca \( A^2=2I \).
stiu ca am omis calculul, dar e destul de rapid. eu sper ca e si corect.
Consider polinomul \( p(X) = \det ( A - XI ) \) , care este un polinom de gradul doi, cu coeficienti rationali, monic.
Am ca \( p(\sqrt 2)\cdot p(-\sqrt2)=0 \), insa \( p \in\mathbb{Q}[X] \), deci \( p(\sqrt2)=p(-\sqrt2)=0 \). Atunci \( \det (A\pm \sqrt2\cdot I ) = 0 \).
Aplic teorema Hamilton-Cayley pt matricele \( A+\sqrt2 \cdot I \) si \( A-\sqrt2 \cdot I \) apoi se desfac parantezele si se prelucreaza putin relatiile. Se ajunge la
\( A^2 - A\cdot \mbox{tr}A - 2I=O \). Deci \( \det A = -2 \) (tot din Hamilton-Cayley, de data aceasta pentru \( A \)).
Acum folosindu-ma de asta, prin inlocuire se obtine si ca \( \mbox{tr}A=0 \). De aici rezulta si ca \( A^2=2I \).
stiu ca am omis calculul, dar e destul de rapid. eu sper ca e si corect.
-
Cezar Lupu
- Site Admin
- Posts: 612
- Joined: Wed Sep 26, 2007 2:04 pm
- Location: Bucuresti sau Constanta
- Contact:
Da, interesante solutii, dar sa zicem ca exista un elev care nu stie ce-i acela polinom caracteristic. E posibil si asta, nu? Atunci mai putem face si asa:
Fie matricea \( A=\left(\begin{array}{cc}a&b\\c&d\\\end{array}\right), \) unde \( a, b, c, d\in\mathbb{Q} \). Un calcul simplu arata ca avem
\( A^{2}=\left(\begin{array}{cc}{a^2+bc}&{ab+bd}\\{ac+dc}&{bc+d^2}\\\end{array}\right). \)
Mai departe, avem ca \( A^{2}-2I_{2}=(A+\sqrt{2}I_{2})(A-\sqrt{2}I_{2}) \), iar cum din ipoteza avem ca det\( (A^2-2I_{2})=0 \) rezulta sau ca det\( (A-\sqrt{2}I_{2})=0 \) sau ca det\( (A+\sqrt{2}I_{2})=0 \). Sa zicem ca suntem in primul caz. Avem matricea \( B=(A-\sqrt{2}I_{2})=\left(\begin{array}{cc}a-\sqrt{2}&b\\c&d-\sqrt{2}\\\end{array}\right) \). Calculand determinatul matricei \( B \) si egalandu-l cu zero, vom avea ca \( (a-\sqrt{2})(d-\sqrt{2})-bc=0 \) care este echivalenta cu
\( (ad-bc)-\sqrt{2}(a+d)+2=0 \) care este echivalenta cu det\( A+2-\sqrt{2}Tr(A)=0 \). Cum det\( A \) si \( tr(A) \) sunt numere rationale, iar \( 1, \sqrt{2} \) sunt liniar independente peste \( \mathbb{Q} \), rezulta imediat ca det\( A=-2 \) si \( tr(A)=0 \). Acum pentru a calcula \( A^2 \) nu e nevoie decat sa aplicam Hamilton-Cayley.
Fie matricea \( A=\left(\begin{array}{cc}a&b\\c&d\\\end{array}\right), \) unde \( a, b, c, d\in\mathbb{Q} \). Un calcul simplu arata ca avem
\( A^{2}=\left(\begin{array}{cc}{a^2+bc}&{ab+bd}\\{ac+dc}&{bc+d^2}\\\end{array}\right). \)
Mai departe, avem ca \( A^{2}-2I_{2}=(A+\sqrt{2}I_{2})(A-\sqrt{2}I_{2}) \), iar cum din ipoteza avem ca det\( (A^2-2I_{2})=0 \) rezulta sau ca det\( (A-\sqrt{2}I_{2})=0 \) sau ca det\( (A+\sqrt{2}I_{2})=0 \). Sa zicem ca suntem in primul caz. Avem matricea \( B=(A-\sqrt{2}I_{2})=\left(\begin{array}{cc}a-\sqrt{2}&b\\c&d-\sqrt{2}\\\end{array}\right) \). Calculand determinatul matricei \( B \) si egalandu-l cu zero, vom avea ca \( (a-\sqrt{2})(d-\sqrt{2})-bc=0 \) care este echivalenta cu
\( (ad-bc)-\sqrt{2}(a+d)+2=0 \) care este echivalenta cu det\( A+2-\sqrt{2}Tr(A)=0 \). Cum det\( A \) si \( tr(A) \) sunt numere rationale, iar \( 1, \sqrt{2} \) sunt liniar independente peste \( \mathbb{Q} \), rezulta imediat ca det\( A=-2 \) si \( tr(A)=0 \). Acum pentru a calcula \( A^2 \) nu e nevoie decat sa aplicam Hamilton-Cayley.
An infinite number of mathematicians walk into a bar. The first one orders a beer. The second orders half a beer. The third, a quarter of a beer. The bartender says “You’re all idiots”, and pours two beers.