O problema interesanta...

[Beniamin Bogosel]

Consideram urmatoarea proprietate a unei submultimi \( F \) a multimii numerelor naturale \( \mathbb{N} \):
exista \( N \in \mathbb{N} \) astfel incat \( F \) nu contine o progresie aritmetica de lungime mai mare decat \( N \).

Demonstrati ca submultimile cu aceasta proprietate, impreuna cu \( \mathbb{N} \) formeaza familia de multimi inchise in raport cu o anumita topologie pe \( \mathbb{N} \).


Aceasta problema este din aceeasi carte si ar rezolva problema aceasta.

(nu stiu rezolvarea; nu este in carte...)

[Dragos Fratila]

Trebuie sa verifici niste axiome pentru aceste multimi F (sa le zicem care au proprietatea P) impreuna cu \( \mathbb N \):
1. intersectia unei familii de multimi cu proprietatea P este o multime cu proprietatea P
2. reuniunea a doua multimi cu proprietatea P este o multime cu proprietatea P
3. multimea vida (are propr P) si multimea totala (o ai ca bonus) se afla printre multimile tale.

Astea sunt proprietatile ce trebuie sa le verifice multimile inchise dintr-o topologie. Complementarele lor se vor numi multimi deschise.

1,3 sunt imediate.
2: prin absurd pp ca A si B au proprietatea P si \( A\cup B \) nu are proprietatea P... te las sa te distrezi si tu putin :)

Teorema van der Waerden:
\( \mathbb{N}=A_1\cup...\cup A_n \)
Daca toate multimile \( A_i \) au proprietatea P, atunci si reuniunea lor (conform celor de mai sus) are proprietatea P. Contradictie, caci \( \mathbb N \) nu are proprietatea P.