Distributia numerelor prime cu suma a doua >= al treilea

[Cezar Lupu]

Sa se arate ca pentru fiecare intreg \( k\geq 3 \), exista numerele prime
\( q_{1}< q_{2}< \ldots <q_{k} \) astfel incat \( q_{1}+q_{2}>q_{k} \).

[Filip Chindea]

Sa ne uitam la "blocul" \( p_{n+1},...,p_{n+k} \) de prime consecutive. Daca \( p_{n+1} + p_{n+2} \le p_{n+k} \), atunci \( 2p_{n+1} < p_{n+k} \). Sa alegem \( n+1 = t(k-1) \), deci \( 2p_{t(k-1)} < p_{(t+1)(k-1)} \), si astfel \( 2^tp_{t(k-1)} < p_{2t(k-1)} \). Acum, notând \( f(t) = \frac{p_{2t(k-1)}}{2^t \cdot p_{t(k-1)}} \), \( f \) este asimptotica pe masura ce \( t \) tinde la infinit cu \( \frac{2(\ln 2 + \ln t(k-1))}{2^t \ln t(k-1)} \) (echivalenta cu PNT). Insa evident ca limita este cel putin \( 1 \), contradictie.

PS. Ceva referinte ar fi binevenite (de la orice user ma refer), doarece aceasta lema cu siguranta ca nu este neînsemnata, adica doar un exercitiu lipsit de implicatii.

[Cezar Lupu]

Ai dreptate, Filip! Intr-adevar aceasta problema nu este dupa cum spuneai, "un exercitiu lipsit de implicatii", ci are un sambure. Solutia mea este in mare foarte asemanatoare cu a ta. Pe scurt, daca consideram \( p_{n} \) cel de-al \( n \)-lea numar prim, atunci avem ca \( \lim_{n\to\infty}\frac{p_{n}}{n\log n}=1 \). Rezulta ca pentru un intreg fixat \( k\geq 1 \) avem ca \( \lim_{n\to\infty}\frac{p_{n+k}}{p_{n}}=1 \), i.e. oricare ar fi \( \epsilon>0 \) exista un rang \( n_{\epsilon}>0 \) astfel incat pentru orice \( n\geq n_{\epsilon} \) sa avem

\( \frac{p_{n+k}}{p_{n}}-1<\epsilon \).

Luand \( \epsilon=1 \) gasim de la un rang \( n_{1} \) ca \( 2p_{n}>p_{n+k} \) pentru \( n\geq n_{1} \).
Alegem acum \( q_{1}=p_{n_{1}+1}, q_{2}=p_{n_{1}+2}, \ldots , q_{k}=p_{n_{1}+k} \) si astfel vom avea
\( q_{1}+q_{2}>2p_{n_{1}+k}>2p_{n_{1}}>p_{n_{1}+k}=q_{k} \). \( \qed \)

Observatie.

Folosind acest rezultat a fost demonstrata urmatoarea

Teorema (Schur).

Exista polinoame ciclotomice avand modulele coeficientilor oricat de mari.

[Filip Chindea]

La asta ma asteptam si eu! Se stie de prin '70 ca de fapt orice întreg este coeficient al unui polinom ciclotomic. Acum am dat si peste articolul acesta, care pare destul de cunoscut (are opt citari pe Google Scholar). E "worth reading", demonstratia propriu-zisa are de fapt doar un paragraf

[Beniamin Bogosel]

Pe scurt, daca consideram \( p_{n} \) cel de-al \( n \)-lea numar prim, atunci avem ca \( \lim_{n\to\infty}\frac{p_{n}}{n\log n}=1 \).

E adevarata asta?

[spx2]

Pe scurt, daca consideram \( p_{n} \) cel de-al \( n \)-lea numar prim, atunci avem ca \( \lim_{n\to\infty}\frac{p_{n}}{n\log n}=1 \).

E adevarata asta?

s-ar zice ca da