Fie \( A,B,C,D \in \mathcal{M}_n (\mathbb{C}) \) astfel incat \( A \) si \( C \) sunt inversabile, iar relatia \( A^kB= C^kD \) este adevarata pentru orice \( k \) natural nenul.
Sa se arate ca \( B=D \). (M. Cavachi, ONM 1996)
A^k*B = C^k*D implica B = D, daca A, C sunt inversabile
Moderators: Bogdan Posa, Laurian Filip, Beniamin Bogosel, Radu Titiu, Marius Dragoi
A^k*B = C^k*D implica B = D, daca A, C sunt inversabile
Last edited by maky on Thu Oct 11, 2007 12:36 am, edited 1 time in total.
-
Cezar Lupu
- Site Admin
- Posts: 612
- Joined: Wed Sep 26, 2007 2:04 pm
- Location: Bucuresti sau Constanta
- Contact:
Daca consideram matricele \( I_{n}, A, A^{2}, \ldots, A^{n^{2}} \) si sistemul cu \( n^2+1 \) necunoscute si \( n^2 \) ecuatii, anume:
\( x_{0}I_{n}+x_{1}A+x_{2}A^{2}\ldots +x_{n^{2}}A^{n^{2}}=0 \) admite si solutii nebanale, deci exista un polinom nenul \( f\in\mathbb{C}[X] \) astfel incat \( f(A)=O_{n} \). Acum luam doua polinoame de grad minim, \( f, g \) astfel ca \( f(A)=g(C)=O_{n} \). Atunci \( f(0)=g(0)\neq 0 \). In caz contrar, avem \( f(X)=Xf_{1}(X) \) si deci \( Af_{1}(A)=O_{n} \). Cum det\( A\neq 0 \) rezulta ca \( f_{1}(A)=O_{n} \) ceea ce este in contradictie cu minimalitatea gradului polinomului \( f \). Acum consideram \( h\in\mathbb{C}[X] \) cu \( h=fg \), \( h=\sum_{k=0}^{n}a_{k}X^{k} \). Cum \( h(A)=h(C)=O_{n} \) rezulta ca \( h(A)B=h(C)D \). Inlocuind in expresia polinomului \( h \) si tinand cont ca din ipoteza avem ca \( A^{k}B=C^{k}D, \forall k\geq 1 \), obtinem ca \( a_{0}B=a_{0}D \). Dar \( a_{0}=h(0)=f(0)g(0)\neq 0 \), de unde rezulta ca \( B=D \).
\( x_{0}I_{n}+x_{1}A+x_{2}A^{2}\ldots +x_{n^{2}}A^{n^{2}}=0 \) admite si solutii nebanale, deci exista un polinom nenul \( f\in\mathbb{C}[X] \) astfel incat \( f(A)=O_{n} \). Acum luam doua polinoame de grad minim, \( f, g \) astfel ca \( f(A)=g(C)=O_{n} \). Atunci \( f(0)=g(0)\neq 0 \). In caz contrar, avem \( f(X)=Xf_{1}(X) \) si deci \( Af_{1}(A)=O_{n} \). Cum det\( A\neq 0 \) rezulta ca \( f_{1}(A)=O_{n} \) ceea ce este in contradictie cu minimalitatea gradului polinomului \( f \). Acum consideram \( h\in\mathbb{C}[X] \) cu \( h=fg \), \( h=\sum_{k=0}^{n}a_{k}X^{k} \). Cum \( h(A)=h(C)=O_{n} \) rezulta ca \( h(A)B=h(C)D \). Inlocuind in expresia polinomului \( h \) si tinand cont ca din ipoteza avem ca \( A^{k}B=C^{k}D, \forall k\geq 1 \), obtinem ca \( a_{0}B=a_{0}D \). Dar \( a_{0}=h(0)=f(0)g(0)\neq 0 \), de unde rezulta ca \( B=D \).
An infinite number of mathematicians walk into a bar. The first one orders a beer. The second orders half a beer. The third, a quarter of a beer. The bartender says “You’re all idiots”, and pours two beers.
Desi \( P_A(A)B=P_C(C)D\Rightarrow\det(A)B=\det(C)D \), asta nu este suficient ca sa obtinem \( B=D \). (Partea asta nu se pune la rezolvare, face parte din euristica problemei!)
Dar \( P(A)B=P(C)D\Rightarrow P(0)B=P(0)D\Rightarrow B=D \), unde \( P=P_AP_C \).
(Vad acum, dupa un search pe mathlinks, ca solutia aceasta era cunoscuta http://www.mathlinks.ro/viewtopic.php?s ... 403&t=1955)
Dar \( P(A)B=P(C)D\Rightarrow P(0)B=P(0)D\Rightarrow B=D \), unde \( P=P_AP_C \).
(Vad acum, dupa un search pe mathlinks, ca solutia aceasta era cunoscuta http://www.mathlinks.ro/viewtopic.php?s ... 403&t=1955)