O caracterizare alternativa a punctului Lemoine

[pohoatza]

Fie \( ABC \) un triunghi si \( P \) un punct in interiorul sau. Desenam paralelele prin \( P \) la laturile trunghiului si consideram cele \( 6 \) puncte de intersectie ale acestora cu laturile corespunzatoare. Este cunoscut ca aceste \( 6 \) puncte sunt situate pe o conica (se demonstreaza usor cu th. Carnot). Sa se arate ca aceasta conica este cerc daca si numai daca \( P \) este punctul lui Lemoine a lui \( \triangle{ABC} \), i.e. intersectia simedianelor triunghiului.

[Beniamin Bogosel]

Daca avem notatiile din figura, demonstram ca \( AX \) este simediana din \( A \) daca si numai daca triunghiurile \( ABC \) si \( PYZ \) sunt asemenea.

Notam \( \alpha=m(\angle BAX),\ \beta=m(\angle CAX) \) atunci din teorema sinusurilor in trunghiurile \( ABC, PYZ \) si din faptul ca \( AYPZ \) este paralelogram rezulta
\( \frac{BX}{CX}=\frac{AB}{AC}\frac{\sin \alpha}{\sin \beta}=\frac{AB}{AC}\cdot \frac{PY}{PZ} \), de unde rezulta ceea ce doream sa demonstram.

Deci \( P \) este punctul lui Lemoine al triunghiului \( ABC \) daca si numai daca \( PA,PB,PC \) sunt simediane \( \Leftrightarrow ABC\sim PYZ \sim TPU \sim WVP \)(asemanari de triunghiuri), fapt ce este echivalent cu \( PT\cdot PW=PU\cdot PZ =PV\cdot PY \), adica cele 6 puncte sunt conciclice.