Subiectul 2, Concursul centrelor de excelenta 2008

[Bogdan Cebere]

Sa se arate ca exista un sir de numere reale \( (x_n)_{n \geq 0} \), cu \( x_n \in \( \frac {1}{2n\pi +\frac{3 \pi}{2}},\frac {1}{2n\pi + \frac{\pi }{2}} \) \) astfel incat \( \lim_{n \to \infty} (2x_n \sin \frac{1}{x_n}- \cos \frac{1}{x_n})=\frac{2}{\pi}. \)

[Beniamin Bogosel]

Din ipoteza, \( x_n \to 0 \), deci \( 2x_n\sin \frac{1}{x_n}\to 0 \). Acum mai ramane de aratat ca exista \( x_n \) in intervalul considerat in ipoteza astfel incat \( \lim_{n\to \infty}\cos \frac{1}{x^n} =-\frac{2}{\pi} \in (-1,1) \).
Avand in vedere faptul ca
\( \frac{1}{x_n} \in (2n\pi+\frac{\pi}{2}, 2n\pi+\frac{3\pi}{2}) \), si functia cosinus este negativa pe aceste intervale, chiar ia toate valorile din \( (0,1] \) alegem din fiecare interval un \( x_n \) astfel incat \( \cos \frac{1}{x_n}=-\frac{2}{\pi} \) si am terminat.