Subiectul 4, Concursul centrelor de excelenta 2008

[Bogdan Cebere]

Sa se demonstreze ca, daca \( a \in (0,2 \sqrt 2] \), atunci \( | \ln a+a-1| \geq \sqrt 2 |a-1|. \)

[Beniamin Bogosel]

Problema se reduce la urmatoarele:

Daca \( h(a)=\log a +a-1=0 \) atunci \( h^\prime(a)=\frac{1}{a}+1>0 \) pentru orice \( a>0 \). Deci functia este strict crescatoare si are cel mult un zero. Deoarece 1 este zero pentru \( h \) acesta este unic.

Mai departe problema se desparte in doua:

\( a \in (0,1] \Rightarrow 1-a-\log a \geq \sqrt{2}(1-a) \).
\( a \in (1,2\sqrt{2})\Rightarrow \log a +a -1 \geq \sqrt{2}(a-1) \).

Acestea se rezolva tot asa cu derivate.

[Virgil Nicula]

Sa se demonstreze ca, daca \( a \in (0,2 \sqrt 2] \), atunci \( | \ln a+a-1| \geq \sqrt 2 |a-1|. \)

Se poate considera functia \( f(a)=\frac {\ln a}{a-1}>0 \) (se arata usor)

si sa aratam ca \( f(a)\ge\sqrt 2-1 \) pentru orice \( a \in (0,1)\cup (1,2 \sqrt 2]\ . \)

Incercati, iese usor, cu putine calcule, fara a avea o discutie pe cazuri ....

Banuiesc ca se accepta fara demonstratie ca \( e^2<8 \) !

Daca este nevoie, se face si asta usor.

[Beniamin Bogosel]

O demonstratie pentru \( e^2 <8 \) fara calculator

Stim ca \( e^x=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+...+\frac{x^n}{n!}+... \).

Scriem aceasta dezvoltare pentru \( x=2 \).
\( e^2=1+2+2+\frac{4}{3}+\frac{2}{3}+\sum_{n\geq 5}\frac{2^n}{n!}=7+\sum_{n\geq 5}\frac{2^n}{n!} \).

Mai ramane de demonstrat faptul ca \( \sum_{n\geq 5}\frac{2^n}{n!}<1 \).

Pentru aceasta se demonstreaza usor prin inductie ca \( \frac{2^n}{n!}<\frac{1}{2^{n-4}},\ \forall n\geq 5 \). Deci \( \sum_{n\geq 5}\frac{2^n}{n!}<\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n}=1 \).