Functii

[Beniamin Bogosel]

Fie \( f:[0,1]\to \mathbb{R} \) cu proprietatea ca \( \int_0^1f(x)dx=\frac{1}{2} \) si \( \int_0^1f^2(x)dx=\frac{1}{3} \).
Demonstrati ca \( \int_0^1xf(x)=\frac{1}{3} \).

[Marius Mainea]

Functia \( f(x)=1-x \) nu verifica concluzia.

[Beniamin Bogosel]

Era dintr-o carte mai veche si n-am reusit s-o rezolv. M-am gandit ca era gresita, dar n-am gasit contraexemplu...

[Beniamin Bogosel]

Daca in plus \( f \) este crescatoare, atunci este rezolvabila problema?

[Vlad Matei]

Ma rog, problema nu poate fi dreasa. Tot ce se poate preciza este \( \displaystyle \int_{0}^{1}xf(x)dx\leq\frac{1}{3} \).
Un exemplu de functie strict crescatoare este \( \displaystyle \frac{\sqrt{15}}{4}x^{2}+\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{15}}{12} \).