Sir de nr. reale definit printr-o relatie de recurenta
Moderators: Bogdan Posa, Laurian Filip, Beniamin Bogosel, Radu Titiu, Marius Dragoi
-
bogdanl_yex
- Pitagora
- Posts: 91
- Joined: Thu Jan 31, 2008 9:58 pm
- Location: Bucuresti
Sir de nr. reale definit printr-o relatie de recurenta
Fie \( (x_{n})_{n \in N} \) un sir de numere reale cu proprietatea ca \( 0 \leq x_{n+1}-2x_{n} \leq \frac{1}{n},\forall n \in N \). Sa se arate ca exista \( a \in R \) astfel incat \( \lim_{n\to\infty}(2^{n}a-x_{n})=0 \).
"Don't worry about your difficulties in mathematics; I can assure you that mine are still greater"(Albert Einstein)
-
Beniamin Bogosel
- Co-admin
- Posts: 710
- Joined: Fri Mar 07, 2008 12:01 am
- Location: Timisoara sau Sofronea (Arad)
- Contact:
Impartim relatia din ipoteza cu \( 2^{n+1} \) si obtinem \( 0\leq \frac{x_{n+1}}{2^{n+1}}-\frac{x_n}{2^{n}}\leq \frac{1}{n\cdot 2^n} \). Din aceasta relatie se poate observa ca sirul \( y_n=\frac{x_n}{2^n} \) este crescator si marginit. Deci exista \( \lim_{n\to \infty}y_n=a \in \mathbb{R} \).
Calculam \( \lim_{n\to \infty}(2^na-x_n)=\lim_{n\to \infty}\frac{a-\frac{x_n}{2^n}}{\frac{1}{2^n}} \). Intentionez sa folosesc Stolz-Cesaro.
Avem \( \lim_{n\to \infty}\frac{a-\frac{x_{n+1}}{2^{n+1}}-a+\frac{x_n}{2^n}}{\frac{1}{2^{n+1}}-\frac{1}{2^n}}=
\lim_{n \to \infty}x_{n+1}-2x_n=0 \), daca aplicam teroema clestelui cu sirurile date in relatia din ipoteza. Deci din Stolz-Cesaro avem ca si \( \lim_{n\to \infty}(2^na-x_n)=0 \), adica ceea ce trebuia demonstrat.
Calculam \( \lim_{n\to \infty}(2^na-x_n)=\lim_{n\to \infty}\frac{a-\frac{x_n}{2^n}}{\frac{1}{2^n}} \). Intentionez sa folosesc Stolz-Cesaro.
Avem \( \lim_{n\to \infty}\frac{a-\frac{x_{n+1}}{2^{n+1}}-a+\frac{x_n}{2^n}}{\frac{1}{2^{n+1}}-\frac{1}{2^n}}=
\lim_{n \to \infty}x_{n+1}-2x_n=0 \), daca aplicam teroema clestelui cu sirurile date in relatia din ipoteza. Deci din Stolz-Cesaro avem ca si \( \lim_{n\to \infty}(2^na-x_n)=0 \), adica ceea ce trebuia demonstrat.