Numere prime în translatiile unui sir

[Filip Chindea]

Exista siruri strict crescatoare de numere întregi \( (a_k)_{k \ge 1}, \ a_1 \ge 1 \), cu proprietatea ca \( \forall n \in \mathbb{Z} \), multimea \( \{ a_k + n \ : \ k \in \mathbb{N}^{\ast} \} \) sa contina un numar finit de prime?

[TST II 2008, Problema 2]

[Vlad Matei]

Cred ca sirul \( a_{k}=(k!)^{3} \) este foarte bun pentru enuntul problemei. Asadar exista un astfel de sir. Singurele care impun verificari sunt n=1 si n=-1 dar se observa descompunerea lui \( a^{3}+1 \) respectiv \( a^{3}-1 \).

[Filip Chindea]

Daca ne venea in minte faptul ca exista o factorizare tip \( n + 1 \), si anume identitatea Germain

\( 4m^4 + 1 = (2m^2 + 2m + 1)(2m^2 - 2m + 1) \),

nu ne mai ramâne decât sa alegem \( a_k := 4(k!)^4 \) (sau orice alt astfel de exemplu, cum ai zis).

De fapt, tot ce era necesar era sa "suspectezi" ca un astfel de sir chiar exista!