Divizibilitate si resturi patratice

Filip Chindea · Post by **Filip Chindea** » Sat Jun 07, 2008 8:21 pm

Fie numerele întregi impare \( m, n \ge 3 \). Aratati ca \( 2^m - 1 \) nu divide \( 3^n - 1 \).

[TST III 2008, Problema 3]

Vlad Matei · Post by **Vlad Matei** » Sat Jun 07, 2008 8:51 pm

Singura chestie care trebuia observata este ca daca m este impar \( 2^{m}-1 \) are un factor prim de forma \( 12k+7 \) sau \( 12k+5 \). Urmeaza calcul simbolului lui Legendre \( \displaystyle \left(\frac{3^{m}}{p}\right)=\left(\frac{3}{p}\right) \) care in ambele cazuri da -1.