Concurenta non-standard

[Filip Chindea]

Fie \( ABC \) ascutitunghic, \( H \) ortocentrul sau si \( X \) un punct oarecare în planul triunghiului. Fie \( A_1 \) proiectia lui \( X \) pe \( AH \) si \( A_2 \) proiectia lui \( H \) pe \( AX \). Efectuam constructiile analoage pentru celelalte vârfuri. Sa se arate ca \( A_1A_2, \ B_1B_2 \) si \( C_1C_2 \) sunt concurente.

[TST III 2008, Problema 2]

[Vlad Matei]

Foarte draguta problema. De fapt H nu joaca nici un rol in poza noastra. Puteam sa luam orice punct.
Prima data sa vedem cum se reformuleaza problema. In hexagonul inscriptibil \( A_{1}A_{2}XB_{2}B_{1}H \) cu teorema lui Pascal avem ca \( A_{1}A_{2}\cap B_{1}B_{2} \), \( A_{2} X\cap B_{1}H \), \( XB_{2}\cap HA_{1} \) sunt coliniare asadar \( A_{1}A_{2}\cap B_{1}B_{2} \),\( A X\cap BH \), \( BX\cap HA \) sunt coliniare. Facand si Pascal pentru analoage mai ramane sa demonstram, notand \( BX \cap HA=M \),\( A X \cap BH=N \), \( C X \cap BH=P \), \( BX\cap CH=Q \),\( CX \cap AH=R \), \( AY \cap CH=S \), ca \( MN,PQ,RS \) sunt concurente. Daca aplicam Pappus pentru perechile \( RPY,QSH \) am terminat.

[maky]

Nu am inteles argumentul de la final: de ce este suficient sa demonstram ca \( MN,PQ,RS \) concurente?
Am incercat cu kseg, \( H \) cam trebuie sa fie ortocentru dupa desenul meu.

[Vlad Matei]

Da se pare ca am echivalat doua chestii care nu prea erau. Tre sa mai ma uit un pic pe desen.
Tot ce ramane de demonstrat este \( A_{1}A_{2} \) ,\( RS \) si \( MN \) sunt concurente.

[Cosmin Pohoata]

Concurenta non-standard

De fapt, mai degraba cred ca este standard. Vezi aici, spre exemplu, o problema echivalenta.