Concursul "Al. Myller" problema 4

[Bogdan Cebere]

Fie \( SABC \) un tetraedru regulat. Punctele \( A_{1},B_{1},C_{1} \) aparţin muchiilor \( (SA), (SB), (SC), \) respectiv, astfel încât \( A_{1}B_{1} =B_{1}C_{1} =C_{1}A_{1} \) Să se arate că planele \( (A_{1}B_{1}C_{1}) \) şi \( (ABC) \) sunt paralele.

[Marius Mainea]

Notam \( SA_1=x , SB_1=y , SC_1=z \) si din terema cosinusului rezulta :

\( x^2+y^2-xy=y^2+z^2-yz=z^2+x^2-zx \) . Din sistemul de mai sus rezulta \( x=y=z \) si de aici concluzia problemei.