(M2) Subiectul III-faza finala-Concursul de Evaluare

[Laurian Filip]

Sa se calculeze \( \sum cos((\pm \frac{1}{2} \pm \frac{2}{3} \pm \frac{3}{4} \pm \cdots \pm \frac {2008}{2009}) \pi) \), unde suma se face dupa toate alegerile posibile ale semnelor + si -.

[Tudor Micu]

Scriem \( x_i=\frac{i\pi}{i+1} \)
Grupam termenii sumei doi cate doi in felul urmator: \( \cos(x_1+a)+\cos(-x_1+a)=2 \cos x_1 \cos a \), unde a este \( \pm x_2\pm...x_n \), cu o alegere oarecare a semnelor.
Astfel \( \sum \cos(\pm x_1\pm x_2\pm...x_n) \) devine \( 2\cos x_1\sum \cos(\pm x_2\pm...x_n) \)
\( \cos x_1=\cos \frac{\pi}{2}=0 \), deci suma este 0.