Daca \( H \subset S_n, H \neq \emptyset \) are proprietatea: \( \forall \sigma, \tau \in H \Rightarrow \sigma\tau \in H \), sa se arate ca:
\( \forall \sigma \in H \Rightarrow \sigma^{-1} \in H \).
Submultime a unui grup de permutari
Moderators: Bogdan Posa, Laurian Filip, Beniamin Bogosel, Radu Titiu, Marius Dragoi
-
Marius Mainea
- Gauss
- Posts: 1077
- Joined: Mon May 26, 2008 2:12 pm
- Location: Gaesti (Dambovita)
Demonstratie pentru clasa a XII-a:
''Daca G este grup si H parte stabila finita a lui G, atunci H este subgrup al lui G.''
Demonstratie pentru clasa a XI-a:
Definim \( f:H \rightarrow H \) prin \( f(\tau)=\tau\sigma_0 \), unde \( \sigma_0 \) este o permutare oarecare a lui H.
Aceasta functie este injectiva si cum H este finita rezulta ca este surjectiva.
Asadar exista \( \tau\in H \) astfel incat \( \tau\sigma_0=\sigma_0 \) de unde \( \tau=e \) iar apoi exista \( \tau\in H \) astfel incat \( \tau\sigma_0=e \), de unde \( \tau=\sigma_0^{-1}\in H \) pentru orice \( \sigma_0\in H \).
''Daca G este grup si H parte stabila finita a lui G, atunci H este subgrup al lui G.''
Demonstratie pentru clasa a XI-a:
Definim \( f:H \rightarrow H \) prin \( f(\tau)=\tau\sigma_0 \), unde \( \sigma_0 \) este o permutare oarecare a lui H.
Aceasta functie este injectiva si cum H este finita rezulta ca este surjectiva.
Asadar exista \( \tau\in H \) astfel incat \( \tau\sigma_0=\sigma_0 \) de unde \( \tau=e \) iar apoi exista \( \tau\in H \) astfel incat \( \tau\sigma_0=e \), de unde \( \tau=\sigma_0^{-1}\in H \) pentru orice \( \sigma_0\in H \).