Conditii pentru ca o functie sa fie continua

[Dragos Fratila]

Fie \( f:R^n\to R^m \) o functie cu proprietatea ca duce compacte in compacte si conexe in conexe. Demonstrati ca \( f \) este continua.

Miklos Schweitzer 2000

[Liviu Paunescu]

Sunt putin obosit la ora asta si s-ar putea sa gresesc usor, dar de ce celebra \( \sin\frac1x \) cu \( 0 \) in \( 0 \), care are proprietatea lui Darboux, nu duce compacte in compacte?

[Tiberiu Popa]

Problema e corecta. Putem alege \( A = \left\{0,\ \frac{1}{2 \pi + \epsilon_1}, \dots,\ \frac{1}{2 k \pi + \epsilon_k}, \dots \right\} \) astfel incat \( A \) e compacta si \( f(A) \) contine puncte oricat de apropriate de \( 1 \), dar nu pe \( 1 \). De fapt, asta e si ideea de rezolvare.

(Oricum, stiam problema de dinainte, asa ca "nu se pune".)