Se poate ca (AB-BA)^p=I_n, cu p>n numar prim?
Moderators: Bogdan Posa, Laurian Filip, Beniamin Bogosel, Radu Titiu, Marius Dragoi
Se poate ca (AB-BA)^p=I_n, cu p>n numar prim?
Exista doua matrice \( A,B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C}) \) astfel incat \( (AB-BA)^p=I_n \), unde \( p>n \) este un numar prim?
Echivalent:
Exista o matrice \( C\in \mathcal{M}_n(\mathbb{C}) \) cu \( \tr(C)=0 \) si astfel incat \( C^p=I_n \), unde \( p>n \) este un numar prim?
Ce se intampla insa daca in locul lui \( \mathbb{C} \) se considera un corp oarecare?
Exista o matrice \( C\in \mathcal{M}_n(\mathbb{C}) \) cu \( \tr(C)=0 \) si astfel incat \( C^p=I_n \), unde \( p>n \) este un numar prim?
Ce se intampla insa daca in locul lui \( \mathbb{C} \) se considera un corp oarecare?
Last edited by bae on Sat Oct 13, 2007 8:04 pm, edited 3 times in total.
-
Cezar Lupu
- Site Admin
- Posts: 612
- Joined: Wed Sep 26, 2007 2:04 pm
- Location: Bucuresti sau Constanta
- Contact:
Re: Se poate ca (AB-BA)^p=I_n, cu p>n numar prim?
Schimbam putin enuntul :
Da, se poate, daca si numai daca \( p|n \).maky wrote:Exista doua matrice \( A,B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C}) \) astfel incat \( (AB-BA)^p=I_n \), unde \( p \) este un numar prim?
An infinite number of mathematicians walk into a bar. The first one orders a beer. The second orders half a beer. The third, a quarter of a beer. The bartender says “You’re all idiots”, and pours two beers.
-
Tiberiu Popa
- Euclid
- Posts: 19
- Joined: Thu Oct 04, 2007 1:32 am
In primul rand, o matrice \( C \) este de forma \( AB-BA \) daca si numai daca \( \text{tr} \, C = 0 \) (cunoscuta, dar netriviala 
).
In al doilea rand, daca \( C^p = I_n \), atunci polinomul minimal al lui \( C \) divide \( X^p - 1 \), deci are numai radacini simple, deci \( C \) e diagonalizabila. Deci putem presupune WLOG ca \( C = \text{diag} \left( \lambda_1, \ldots, \lambda_n \right) \).
Ipoteza zice ca suma lor e \( 0 \) si ca fiecare e radacina de ordinul \( p \) al unitatii.
Asadar \( \sum \lambda_i = 0 \) se reduce la \( f \left( \omega \right) = 0 \), unde \( f \in \mathbb Z[X], \, \omega = \exp \left( \frac{2 i \pi}{p} \right) \). Cum polinomul minimal al lui \( \omega \) peste \( \mathbb{Q} \) este \( g = X^{p-1} + \ldots + X + 1 \), rezulta ca \( f = gh \). Asadar, \( n = f(1) = g(1) h(1) = p \cdot h(1) \).
Invers presupun ca-i clar.
).In al doilea rand, daca \( C^p = I_n \), atunci polinomul minimal al lui \( C \) divide \( X^p - 1 \), deci are numai radacini simple, deci \( C \) e diagonalizabila. Deci putem presupune WLOG ca \( C = \text{diag} \left( \lambda_1, \ldots, \lambda_n \right) \).
Ipoteza zice ca suma lor e \( 0 \) si ca fiecare e radacina de ordinul \( p \) al unitatii.
Asadar \( \sum \lambda_i = 0 \) se reduce la \( f \left( \omega \right) = 0 \), unde \( f \in \mathbb Z[X], \, \omega = \exp \left( \frac{2 i \pi}{p} \right) \). Cum polinomul minimal al lui \( \omega \) peste \( \mathbb{Q} \) este \( g = X^{p-1} + \ldots + X + 1 \), rezulta ca \( f = gh \). Asadar, \( n = f(1) = g(1) h(1) = p \cdot h(1) \).
Invers presupun ca-i clar.
1. Daca vrem sa dam un exemplu efectiv de doua matrice A, B cu proprietatea din enunt, nu stiu daca este chiar asa de clar!
2. Daca vrem insa sa dam un exemplu de o matrice C cu proprietatea din (celalalt) enunt, atunci este destul de simplu.
PS Problema in forma data este destul de cunoscuta. Partea care cred eu ca merita studiata mai in amanunt ar fi ce se intampla peste un corp oarecare, cu accent pe cazul caracteristicei pozitive.
2. Daca vrem insa sa dam un exemplu de o matrice C cu proprietatea din (celalalt) enunt, atunci este destul de simplu.
PS Problema in forma data este destul de cunoscuta. Partea care cred eu ca merita studiata mai in amanunt ar fi ce se intampla peste un corp oarecare, cu accent pe cazul caracteristicei pozitive.
Last edited by bae on Sat Oct 13, 2007 8:05 pm, edited 1 time in total.
-
Tiberiu Popa
- Euclid
- Posts: 19
- Joined: Thu Oct 04, 2007 1:32 am
Raspuns la prima remarca:
In legatura cu problema cunoscuta pe care am mentionat-o in postul anterior: http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?t=1986
Consider matricea "companion" \( C \) a polinomului \( X^p - 1 \). In link-ul dat de mine este prezentata o metoda de obtinere a unor matrice \( A,B \), stiindu-se ca \( AB-BA \) este o anume matrice data, avand toate elementele de pe diagonala egale cu \( 0 \). Cum \( C \) indeplineste aceasta conditie, \( A,B \) se pot gasi ca in link.
In legatura cu problema cunoscuta pe care am mentionat-o in postul anterior: http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?t=1986
Consider matricea "companion" \( C \) a polinomului \( X^p - 1 \). In link-ul dat de mine este prezentata o metoda de obtinere a unor matrice \( A,B \), stiindu-se ca \( AB-BA \) este o anume matrice data, avand toate elementele de pe diagonala egale cu \( 0 \). Cum \( C \) indeplineste aceasta conditie, \( A,B \) se pot gasi ca in link.
Cand am dat cele doua link-uri in postul http://mateforum.ro/viewtopic.php?t=253 il vazusem si pe acesta, dar mi s-a parut (si mi se pare inca!) ca nu rezolva partea esentiala, si anume ca o matrice cu urma 0 este similara cu una cu diagonala nula.Tiberiu Popa wrote: In legatura cu problema binecunoscuta pe care am mentionat-o in postul anterior: http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?t=1986
(Se afirma fara demonstratie ca "A is unitarily (equivalent) to a matrix whose diagonal entries are all equal to 1/n.trA"). Din fericire matricea companion a polinomului \( X^p-1 \) este deja in forma dorita si intr-adevar putem cauta A, B ca acolo.
Last edited by bae on Sun Dec 23, 2007 6:46 pm, edited 1 time in total.