Suma de radacini ale unitatii
Moderators: Filip Chindea, Andrei Velicu, Radu Titiu
Suma de radacini ale unitatii
Fie \( \omega \in \mathb{C}-\left\{1\right\} \) cu \( \omega ^n=1 \). Determinati \( n \in\mathbb{N} \) astfel incat \( \displaystyle \sum _{k=0} ^{n-1} \omega ^{k^2} =0 \).
-
Beniamin Bogosel
- Co-admin
- Posts: 710
- Joined: Fri Mar 07, 2008 12:01 am
- Location: Timisoara sau Sofronea (Arad)
- Contact:
Daca \( \varepsilon \) este o radacina primitiva a unitatii de ordinul \( n \), atunci fie \( \omega=\varepsilon^p \). Avem \( \sum_{k=1}^n\varepsilon^{pk^2}=0 \).
Daca puterile lui \( \varepsilon \) nu ar fi distincte, \( \varepsilon \) ar verifica un polinom diferit de polinomul minimal. Deci \( pk^2 \) sunt distincte modulo \( n \). Daca \( n\geq 3 \) atunci pentru \( 1 \) si \( n-1 \) se obtin valori egale, ceea ce este o contradictie. Deci singurul caz convenabil este \( n=2 \).
Daca puterile lui \( \varepsilon \) nu ar fi distincte, \( \varepsilon \) ar verifica un polinom diferit de polinomul minimal. Deci \( pk^2 \) sunt distincte modulo \( n \). Daca \( n\geq 3 \) atunci pentru \( 1 \) si \( n-1 \) se obtin valori egale, ceea ce este o contradictie. Deci singurul caz convenabil este \( n=2 \).