Aplicatie la T.Ceva si T.Menelaus ex.4

[heman]

Fie D un punct oarecare pe latura [BC] a triunghiului ABC. Bisectoarea unghiului \( \angle \)ADC intersecteaza AC in E iar bisectoarea unghiului \( \angle \)ADB intersecteaza AB in F. Daca {P}=BE \( \cap \)CF, sa se demonstreze ca punctele A, D, P sunt coliniare.

[Claudiu Mindrila]

In conformitate cu teorema bisectoarei, avem ca: \( \frac{AF}{FB}=\frac{AD}{DB}, \frac{CE}{EA}=\frac{DC}{AD}
\). De aici este evident ca \( \frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CF}{FA}=1 \) ceea ce inseamna ca \( P \in AD \), q.e.d.