Polinoame apropiate

[Alin Galatan]

D-l Prof. Serban Stratila mi-a semnalat o demostratie simpla a Teoremei Tauberiene Hardy-Littlewood [1911: o serie cu coeficienti \( O(\frac{1}{n}) \)sumabila Abel-Poisson este convergenta] datorata lui H.Wieland (J.Reine Angew.Math 56,27-39, 1952) si prezentata sub forma inca simplificata in recenzia lui D. Borwein (Bull. Amer. Math. Soc, 42:3, 401-406, 2005) pentru monografia lui Jacob Korevaar "Tauberian Theory", publicata in seria "Die Grundlehren der math. Wiss." Springer Verlag, 2004. Aceasta demonstratie incepe cu exercitiul de mai jos :

Fie \( \eps > 0 \). Demonstrati ca exista \( p_1,p_2 \) polinoame cu \( p_1(0)=p_2(0)=0 \) si \( p_1(1)=p_2(1)=1 \) astfel ca \( p_1(x)\leq \chi_{[\frac{1}{2},1]}(x)\leq p_2(x) \) pentru orice x din [0,1] (\( \chi \) e functia caracteristica) si de asemenea sa avem \( \int_0^1\frac{p_2(x)-p_1(x)}{x(1-x)}dx<\eps \).

[Alin Galatan]

Existenta lui \( p_1,p_2 \) se reduce la existenta lui \( g_1,g_2 \) astfel ca \( p_1(x)=x(1+(1-x)g_1(x)) \), \( p_2(x)=x(1+(1-x)g_2(x)) \), \( \int_0^1 (g_2(x)-g_1(x))dx<\eps \) si \( g_1(x)\leq -\frac{1}{1-x} \) pentru \( x\in[0,\frac{1}{2}) \) \( g_1(x)\leq \frac{1}{x} \) pentru \( x\in [\frac{1}{2},1] \). Analog pt. \( g_2 \) dar cu semn schimbat.

Voi incerca sa gasesc \( g_1 \) ca fiind un polinom ce se "muleaza" bine pe o functie continua (din Stone-Weirstrass), functia continua fiind obtinuta din functia \( f(x)=-\frac{1}{1-x} \) pentru \( x\in[0,\frac{1}{2}) \) si \( \frac{1}{x} \) pentru \( x\in [\frac{1}{2},1] \) prin 2 artificii:
1) "Coborarea" ei cu o cantitate foarte mica, \( \eps \), pentru ca dupa ce o aproximam uniform cu \( g_2 \), sa avem garantia ca acesta ramane sub f
2) In \( \frac{1}{2} \) f e discontinua. O vom aproxima in zona aceea cu o functia liniara, foarte abrupta (mai exact, vom lipi continuu partea de jos cu cea de sus, printr-o linie, pe intervalul \( [\frac{1}{2},\frac{1}{2}+\eps] \)
Graficul este cel din poza:

Desi nu prea are relevanta forma analitica a lui \( F_{\eps} \), o voi da:
\( F_\eps(x)=-\frac{1}{1-x}-\eps \) pe \( [0,\frac{1}{2}] \), \( \frac{2x-1}{\eps}+\frac{2x-1}{\eps(1+2\eps)}-2-\eps \) pe \( [\frac{1}{2},\frac{1}{2}+\eps] \) si \( \frac{1}{x}-\eps \) pe ce a ramas.
\( F_\eps \) are urmatoarele proprietati:
1) continua
2) \(
f > F_\eps \)
2) \( f(x)-F_\eps(x)=\eps \) pe \( [0,\frac{1}{2})\cap [\frac{1}{2}+\eps,1] \)
3) \( f(x)-F_\eps(x) \) e descrescatoare pe \( [\frac{1}{2},\frac{1}{2}+\eps] \) deci diferenta pe acest interval nu depaseste 2-(-2) = 4

Din Stone-Weirstrass, exista un \( g_1 \) astfel ca \( ||g_1-F_{\eps}||<\eps \)
Deci \( g_1(x)<F_{\eps}(x)+\eps<f(x) \), ceea ce ne asigura ca \( p_1 \) e sub acea functie caracteristica.
Printr-un procedeu analog, obtinem \( g_2 \), doar ca f trebuie urata.
Mai ramane de aratat ca \( \int_0^1 g_2(x)-g_1(x)dx \) e mai mica decat ceva ce tinde la 0 cand espilon tinde la 0 (OBS: \( \eps \) cu care am coborat si am aproximat uniform, nu e neaparat cel din ipoteza. Nu are relevanta.)
\( \int_0^1 g_2(x)-g_1(x)dx=\int_0^1 f(x)-g_1(x)dx + \int_0^1 g_2(x)-f(x)dx \)
Aratam ca \( \int_0^1 f(x)-g_1(x)dx \) tinde la 0 odata cu \( \eps \), cealalta fiind analog.
\( \int_0^1 f(x)-g_1(x)dx=\int_0^1 f(x)-F_{\eps}(x)dx+\int_0^1 F_{\eps}(x) -g_1(x)dx \)

Prima integrala se scrie ca suma a 3 integrale: pe \( [0,\frac{1}{2}] \), \( [\frac{1}{2},\frac{1}{2}+\eps] \), \( [\frac{1}{2}+\eps, 1] \)
Prima + ultima este \( \eps(1-\eps) \) (deoarece functia de integrat e constant \( \eps \) pe aceste intervale).
Cea din mijloc este mai mica decat \( 4\eps \), datorita marginirii functiei cu 4.
Integrala \( \int_0^1 F_{\eps}(x) -g_1(x)dx \) e mai mica decat \( \eps \) datorita constructiei lui \( g_1 \)
Deci \( \int_0^1 f(x)-g_1(x)dx < \eps(1-\eps)+4\eps+\eps \)
De aici, conlcuzia e imediata.