In triunghiul isoscel \( ABC (AB=AC) \), \( m(\angle A)=20^{\circ} \) fie \( E\in(AC) \) astfel incat \( m(\angle ABE)=30^\circ \) si \( F\in(AB) \) astfel incat \( EF=FC \)
Demonstrati ca triunghiul \( EFC \) este echilateral.
Concursul Arhimede 2007
Triunghi isoscel
Moderators: Bogdan Posa, Laurian Filip
-
Marius Mainea
- Gauss
- Posts: 1077
- Joined: Mon May 26, 2008 2:12 pm
- Location: Gaesti (Dambovita)
Triunghi isoscel
Last edited by Marius Mainea on Mon Jun 23, 2008 12:25 pm, edited 1 time in total.
-
Claudiu Mindrila
- Fermat
- Posts: 520
- Joined: Mon Oct 01, 2007 2:25 pm
- Location: Targoviste
- Contact:
-
Marius Mainea
- Gauss
- Posts: 1077
- Joined: Mon May 26, 2008 2:12 pm
- Location: Gaesti (Dambovita)
-
Marius Dragoi
- Thales
- Posts: 126
- Joined: Thu Jan 31, 2008 5:57 pm
- Location: Bucharest
Fie \( N \in (AB) \) astfel incat \( \angle ECN = 60 \). Din ipoteza avem:\( \angle ABE = 30 \Rightarrow \angle EBC = \angle CEB = 50 \Rightarrow \) \( BC=CE \).
\( \Rightarrow \angle CBN = \angle CNB = 80 \) (se obtine din calcule) \( \Rightarrow NC = BC \) \( \Rightarrow \) \( \bigtriangleup CNE \) este isoscel (\( NC=CE \)) (1)
dar \( \angle ENC =60 \) (2)
Din (1) si (2) \( \Rightarrow \bigtriangleup ENC \) este echilateral.
Daca \( F \in (AN) \Rightarrow \angle FEC > 60 \) iar \( \angle FCE < 60 \) \( \Rightarrow EF \neq FC \)
Daca \( F \in (NB) \Rightarrow \angle FCE > 60 \) iar \( \angle FEC < 60 \Rightarrow EF \neq FC \).
Cum din ipoteza \( \bigtriangleup EFC \) este isoscel cu \( EF=FC \) \( \Rightarrow F=N \) este singura posibilitate \( \Rightarrow \bigtriangleup EFC \) este echilateral.
\( \Rightarrow \angle CBN = \angle CNB = 80 \) (se obtine din calcule) \( \Rightarrow NC = BC \) \( \Rightarrow \) \( \bigtriangleup CNE \) este isoscel (\( NC=CE \)) (1)
dar \( \angle ENC =60 \) (2)
Din (1) si (2) \( \Rightarrow \bigtriangleup ENC \) este echilateral.
Daca \( F \in (AN) \Rightarrow \angle FEC > 60 \) iar \( \angle FCE < 60 \) \( \Rightarrow EF \neq FC \)
Daca \( F \in (NB) \Rightarrow \angle FCE > 60 \) iar \( \angle FEC < 60 \Rightarrow EF \neq FC \).
Cum din ipoteza \( \bigtriangleup EFC \) este isoscel cu \( EF=FC \) \( \Rightarrow F=N \) este singura posibilitate \( \Rightarrow \bigtriangleup EFC \) este echilateral.
Politehnica University of Bucharest
The Faculty of Automatic Control and Computers
The Faculty of Automatic Control and Computers