arccos(1/3) nu e multiplu rational de \pi

[Liviu Ornea]

Demonstrati enuntul din subject.

PS Nu e un exercitiu gratuit: e unul din pasii importanti in demonstratia lui Max Dehn la problema a 3-a a lui Hilbert.

PPS S-ar putea sa nu fi nimerit locul cel mai potrivit pentru problema asta. Scuze, nu mai stiu programa de liceu...

[Cezar Lupu]

Hmm, interesanta chestie, nu stiam ca problemuta asta conduce la rezolvarea problemei lui Hilbert. Solutia pe care o voi da, in cele ce urmeaza, depaseste un pic programa, insa voi explica in detaliu notiunile care apar, ca sa fie clar pentru toata lumea. Cred, totusi ca aceasta problema nu este chiar pentru nivelul de clasa, insa pentru olimpiada este tocmai potrivita.

Problema. Sa se arate ca \( \arccos\frac{1}{3} \) nu este multiplu rational al lui \( \pi \).

Solutie.

Consideram \( \zeta=\cos\varphi+i\sin\varphi=\cos k\pi+i\sin k\pi \), unde \( k\in\mathbb{Q} \). Daca luam \( k=\frac{m}{n} \), atunci vom avea ca \( \zeta^{2n}=1 \) si atunci \( \zeta\in\mathbb{Z}[\zeta] \), adica inelul intregilor ciclotomici de grad \( 2n \) (adica este radacina primitiva de ordinul \( 2n \) a unitatii). Deoarece si \( \overline\zeta \) este radacina primitiva de ordin \( 2n \) a unitatii, rezulta ca \( \zeta+\overline\zeta\in\mathbb{Z}[\zeta] \), de unde avem ca \( 2\cos k\pi\in\mathbb{Z}[\zeta] \). Ca sa fiu si mai explicit, reamintim ca \( \mathbb{Z}[\zeta]=\{a_{0}+a_{1}\zeta+a_{2}\zeta^{2}+\ldots +a_{p-2}\zeta^{p-2}, a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{p-2}\in\mathbb{Z}\} \). Acum dam urmatoarea

Lema. Are loc \( \mathbb{Z}[\zeta]\cap\mathbb{Q}=\mathbb{Z} \).
Demonstratie.

Intr-adevar, daca consideram \( b\in\mathbb{Z}[\zeta]\cap\mathbb{Q} \), cu \( b=a_{0}+a_{1}\zeta+a_{2}\zeta^{2}+\ldots +a_{p-2}\zeta^{p-2} \) cu \( a_{0}, a_{1}, \ldots, a_{p-2}\in\mathbb{Z} \). Deoarece \( \{1, \zeta, \zeta^{2}, \ldots, \zeta^{p-2}\} \) este baza a spatiului vectorial
\( \mathbb{Q}(\zeta) \) peste \( \mathbb{Q} \), rezulta egalitatile
\( b=a_{0} \) si \( a_{1}=a_{2}=\ldots =a_{p-2}=0 \) de unde avem ca \( b\in\mathbb{Z} \) si avem incluziunea \( \mathbb{Z}[\zeta]\cap\mathbb{Q}\subset\mathbb{Q} \). Cealalta incluziune este evidenta.
Prin urmare, daca \( 2\cos k\pi\in\mathbb{Z}[\zeta]\cap\mathbb{Q} \), rezultas conform lemei de mai sus ca \( cos k\pi\in\{-1, 0,1, \frac{1}{2}, -\frac{1}{2}\} \).

Acum, revenind la problema noastra, presupunem prin absurd, ca \( \arccos\frac{1}{3}=k\pi \). Aplicand functia \( \cos \), avem ca \( \frac{1}{3}=\cos k\pi \).
Insa, \( \frac{1}{3} \) este numar rational, deci si \( \cos k\pi\in\mathbb{Q} \), insa printre valorile pe care le poate lua nu se afla si \( \frac{1}{3} \), contradictie. \( \qed \)

[Liviu Ornea]

Sigur, asta e solutia "conceptuala", din care se mai pot scoate si alte aplicatii.
Dar exista si (cel putin) una la nivelul liceului. Iei \( a \) un unghi al carui cos e 1/3 si calculezi \( \tan a=2\sqrt{2} \) Apoi calculezi, iterind formula pentru tangenta unghiului dublu, \( \tan na \) si vezi ca, pentru nici un \( n \) nu poate lua valorile \( 0 \) sau \( \infty \), contradictie cu faptul ca, daca \( a\in \pi\mathbb{Q} \), atunci exista \( n \) a.i. \( na\in \pi\mathbb{Z} \).

L.O.

[Filip Chindea]

Demonstrati enuntul din subject.

PS Nu e un exercitiu gratuit: e unul din pasii importanti in demonstratia lui Max Dehn la problema a 3-a a lui Hilbert.

PPS S-ar putea sa nu fi nimerit locul cel mai potrivit pentru problema asta. Scuze, nu mai stiu programa de liceu...

Pare a fi a treia oara cand se posteaza pe forum un caz particular al topicului de aici. A aparut si solutia mai simpla si in 2 randuri (o data facut setting-ul teoretic).

Legat de programa, polinoamele (inca) mai sunt acolo. Dar nu cele Cebasev. Cat despre solutia problemei din PS, se poate intelege de un elev de liceu daca sunt cunoscute cateva argumente de teoria numerelor (subspatiu vect.) si combinatorica elementara (invarianti) (insa din nou nu vad ce legatura are asta cu programa). Acel \( \arccos(1/3) \) nu apare deloc din intamplare - reprezinta unghiul diedru dintre doua fete ale unui tetraedru regulat (cred ca la asta va refereati).