Care este minimul expresiei
\( E=\sqrt{4x^2+28x+85}+\sqrt{4x^2-28x+113} \)
Admitere Politehnica Bucuresti 2005
Minim expresie
-
Radu Titiu
- Thales
- Posts: 155
- Joined: Fri Sep 28, 2007 5:05 pm
- Location: Mures \Bucuresti
Sa observam ca \( E=\sqrt{(2x+7)^2+36}+\sqrt{(-2x+7)^2+64}. \)
Aceasta scriere ne poate sugera sa consideram vectorii:
\( v_1=(2x+7,\ 6) \) si \( v_2 = (-2x+7,\ 8 ) \)
si atunci \( E=|v_1|+|v_2| \).
Din inegalitatea triunghiului avem \( |v_1|+|v_2| \geq |v_1+v_2|=14\sqrt{2} \). Egalitatea are loc daca si numai daca vectorii sunt coliniari, ceea ce e echivalent cu exista \( a \) scalar a.i. \( v_1=av_2 \), de unde rezulta \( a=\frac{3}{4} \) si \( x=-\frac{1}{2} \).
Aceasta scriere ne poate sugera sa consideram vectorii:
\( v_1=(2x+7,\ 6) \) si \( v_2 = (-2x+7,\ 8 ) \)
si atunci \( E=|v_1|+|v_2| \).
Din inegalitatea triunghiului avem \( |v_1|+|v_2| \geq |v_1+v_2|=14\sqrt{2} \). Egalitatea are loc daca si numai daca vectorii sunt coliniari, ceea ce e echivalent cu exista \( a \) scalar a.i. \( v_1=av_2 \), de unde rezulta \( a=\frac{3}{4} \) si \( x=-\frac{1}{2} \).
A mathematician is a machine for turning coffee into theorems.
-
Marius Mainea
- Gauss
- Posts: 1077
- Joined: Mon May 26, 2008 2:12 pm
- Location: Gaesti (Dambovita)