Fie p,q,x,y numere naturale nenule,cu p,q prime. Sa se determine cele patru numere stiind ca p% din x este egal cu q% din y,iar x+y este (p+q)% din xy.
Gabriel Popa,Iasi
Din problemele avute in atentia comisiei de selectie...2008
Moderators: Bogdan Posa, Laurian Filip
-
Omer Cerrahoglu
- Euclid
- Posts: 34
- Joined: Mon Mar 17, 2008 1:08 pm
Avem ca \( \frac{p}{100}.x=\frac{q}{100}.y(1) \) si ca \( x+y=\frac{p+q}{100}.x.y(2) \)
Din (1) obtinem ca \( x=\frac{q}{p}.y(3) \) si inlocuind in (2) obtinem ca \( \frac{q+p}{p}.y=\frac{q+p}{100}.\frac{q}{p}.y^2 \Longrightarrow 1=\frac{q.y}{100} \Longrightarrow q.y=100 \). Pe baza relatiei (3) obtinem si ca \( x.p=100 \). Deoarece \( p \) si \( q \) sunt prime obtinem urmatoarele 4 solutii:
\( (p;q;x;y)\in\{(2,2,50,50);(2,5,50,20);(5,2,20,50);(5,5,20,20)} \)
Din (1) obtinem ca \( x=\frac{q}{p}.y(3) \) si inlocuind in (2) obtinem ca \( \frac{q+p}{p}.y=\frac{q+p}{100}.\frac{q}{p}.y^2 \Longrightarrow 1=\frac{q.y}{100} \Longrightarrow q.y=100 \). Pe baza relatiei (3) obtinem si ca \( x.p=100 \). Deoarece \( p \) si \( q \) sunt prime obtinem urmatoarele 4 solutii:
\( (p;q;x;y)\in\{(2,2,50,50);(2,5,50,20);(5,2,20,50);(5,5,20,20)} \)