O inegalitate din lista scurta 2008

[Claudiu Mindrila]

Aratati ca \( x^{n+1}+\frac{1}{x^{n+1}} \geq x^n+\frac{1}{x^n},
\forall x > 0,\forall n \in \mathbb{N}
\).

Dan Stefan Marinescu, Viorel Cornea, lista scurta 2008, enunt partial

[Virgil Nicula]

Aratati ca \( x^{n+1}+\frac{1}{x^{n+1}} \geq x^n+\frac{1}{x^n},
\forall x > 0,\forall n \in \mathbb{N}
\).

Nu am mai postat de mult pe acest topic deoarece am avut alte preocupari, mai putin de matematica.

Claudiu, acest exercitiu putea aparea cel mult la o teza la clasa a \( \mathrm{IX} \) - a, sau hai sa zicem ca

ar merge si la clasa a \( \mathrm{X} \) - a. Si acum iata o demonstratie a unui asemenea elev.

Definim relatia \( X\ .a.s.\ Y \ \Longleftrightarrow\ X=Y=0\ \vee\ X\cdot Y>0 \) ,

adica expresiile \( X \) si \( Y \) "au Acelasi Semn". Si acum sa pornim la drum.

\( \left\|\begin{array}{cc}
x^{n+1}+\frac{1}{x^{n+1}} \geq x^n+\frac{1}{x^n} & \Longleftrightarrow\\\\
\left(x^{n+1}+\frac{1}{x^{n+1}}\right)-\left(x^n+\frac{1}{x^n}\right) & \mathrm {.a.s.}\\\\
\left(x^{2n+2}+1\right)-x\left(x^{2n}+1\right) & \mathrm {.a.s.}\\\\
x^{2n+1}(x-1)-(x-1) & \mathrm {.a.s.}\\\\
(x-1)\left(x^{2n+1}-1\right) & \mathrm {.a.s.}\\\\
(x-1)^2\ge 0 & \mathrm {O.K.}\end{array}\right\| \)

Va doresc vacanta placuta, atata cat a mai ramas, ca repede s-a terminat.

Si pentru mine aici, mai am patru saptamani (din sase luni) si voi fi acasa.

[Claudiu Mindrila]

Eu gasisem o solutie la nivel de clasa a VII-a si de aceea am propus problema aici.
Solutie:

Pentru inceput \( x^{n+1}+\frac{1}{x^{n+1}} \geq x^n+\frac{1}{x^n} \Longleftrightarrow x^{2n+2}+1 \geq x^{2n+1}+x \Longleftrightarrow x^{2n+1}(x-1)+1-x \geq 0(*) \).

Avem de analizat doua cazuri:

\( 1. \) Daca \( x \in (0,1] \) atunci \( 1-x \geq 0 \).
Relatia \( (*) \) devine: \( -x^{2n+1}(1-x)+1-x \geq 0 \Longleftrightarrow (1-x)(1-x^{2n+1}) \geq 0 \), adevarat.

\( 2. \) Daca \( x \in (1, \infty) \), atunci \( x-1 > 0 \).
Relatia \( (*) \) este devine: \( x^{2n+1}(x-1)-(x-1) \geq 0 \Longleftrightarrow (x-1)(x^{2n+1}-1)>0 \), adevarat.