Spatiu compact+functie

[Dragos Fratila]

Fie \( X \) un spatiu compact (nu neaparat \( T_1 \)) si \( f:X\to X \) o functie cu proprietatea ca \( f(A)\subseteq A \) pt orice \( A=\overline{A} \) din \( X \).
Demonstrati ca exista \( x\in X \) astfel incat \( x\in\overline{f(x)} \) si exista \( Q=\overline{Q} \) astfel incat \( Q=\overline{f(Q)} \).

AMM 3105 - Calin P. Popescu, G. L. Alexanderson, Kenneth B. Stolarsky, H. M. W. Edgar, D. H. Mugler

[claude]

Se poate lua \( Q \) orice submultime inchisa nevida minimala (folosind Zorn), si-atunci orice \( x\in Q \) va fi bun.

[Beniamin Bogosel]

Inteleg ca daca \( Q \) e o multime inchisa nevida minimala (adica daca \( F\subset Q \) si \( F \) inchisa, rezulta \( F=Q \)) atunci rezulta concluzia fara a folosi faptul ca \( X \) e compact.

Deci faptul ca \( X \) e compact s-ar folosi la demonstratia existentei unei astfel de multimi. S-ar putea posta demonstratia asta, sau macar ideile principale? Multumesc.

[claude]

Faptul ca \( X \) e compact inseamna ca daca o intersectie arbitrara de submultimi inchise ale lui \( X \) e vida, atunci exista un subset finit dintre acestea cu intersectia vida. Ca sa aplici Zorn trebuie sa arati ca daca ai un lant de multimi inchise nevide (lant inseamna ca intre oricare doua exista o relatie de incluziune), intersectia elementelor lantului e nevida, iar asta rezulta (folosind compacitatea) din faptul ca intersectia oricarui sublant finit e nevida.