Indice prim cu ordinul subgrupului

[Alin Galatan]

Daca \( K \) e un subgrup normal, de ordin k, intr-un grup finit G, astfel incat \( ([G:K],[K])=1 \), demonstrati ca K e unicul subgrup cu ordin k.

[Dragos Fratila]

Sunt doua teoreme remarcabile ale lui P. Hall care au legatura cu problema:

Teorema 1: Daca \( G \) este un grup finit rezolubil de cardinal \( ab \) cu \( (a,b)=1 \), atunci \( G \) contine subgrupuri de ordin \( a \) si toate sunt conjugate intre ele.

http://en.wikipedia.org/wiki/Hall_subgroup

Teorema 2: Daca \( G \) e un grup finit cu proprietatea ca pentru orice numar prim \( p \) contine un \( p \)-complement (adica un subgrup cu proprietatea ca ordinul sau nu e divizibil cu \( p \) si ca indexul sau este putere a lui \( p \)), atunci grupul \( G \) este rezolubil.

Corolar (la Teorema 1): Daca \( G \) este grup finit rezolubil si \( K \) subgrup normal in \( G \), atunci exista \( H \) subgrup in \( G \) cu proprietatea ca \( HK=G \) si \( H\cap G=\{1\} \)

[Alin Galatan]

Eu ma gandisem la ceva de genul:

Presupunem ca exista un alt subgrup H cu acelasi ordin. Avem \( |HK||H\cap K|=|H||K|=|K|^2 \). Deoarece K e normal, atunci HK e subgrup, deci \( |HK| \) divide \( |G| \). Obtinem ca \( |K|^2 \) divide \( |G||H\cap K|\Rightarrow |K| \) divide \( \frac{|G|}{|K|}\cdot |H\cap K|=[G:K] |H\cap K| \). Din cauza ca \( (|K|,[G:K])=1 \), obtinem ca \( |K| \) divide \( |H \cap K| \), de unde evident \( |K|=|H\cap K| \), deci \( H=H\cap K\Rightarrow H=K \).

(Am folosit cuvantul "divide", si nu clasica |, deoarece apareau prea multe bare.)