Sa se arate ca pentru orice numar \( z\in\mathbb{C} \) cu \( |z|=1 \)
are loc inegalitatea:
\( \sqrt{2}\leq |1-z|+|1+z^{2}|\leq 4 \).
Inegalitate numere complexe de modul 1
Moderators: Filip Chindea, Andrei Velicu, Radu Titiu
-
Cezar Lupu
- Site Admin
- Posts: 612
- Joined: Wed Sep 26, 2007 2:04 pm
- Location: Bucuresti sau Constanta
- Contact:
Inegalitate numere complexe de modul 1
An infinite number of mathematicians walk into a bar. The first one orders a beer. The second orders half a beer. The third, a quarter of a beer. The bartender says “You’re all idiots”, and pours two beers.
-
Andrei Ciupan
- Euclid
- Posts: 19
- Joined: Thu Sep 27, 2007 8:34 pm
Fie \( z=\cos a+ i\sin a, a\in [0;2\pi]. \)
Atunci \( |1-z|=\sqrt{(1-\cos a)^{2}+\sin^{2} a}=\sqrt 2\cdot\sqrt{1-\cos a}\geq\sqrt{2}, \) deci inegalitatea din stanga este rezolvata.
Apoi \( |1+z^{2}|=\sqrt{(\cos 2a+1)^{2}+\sin^{2} 2a}=\sqrt{2(1+\cos 2a)}=2\|cos a| \).
Notam \( x=\sqrt{1-\cos a}, x\in(0;\sqrt{2}) \) si trebuie sa aratam ca are loc inegalitatea \( x\sqrt{2}+2|x^{2}-1|\leq 4 \).
Daca \( x\geq 1 \), atunci inegalitatea e echivalenta cu \( (x-\sqrt{2})(2x+ 3\sqrt{2})\leq 0 \), adevarat, iar daca \( x<1, \) atunci e echivalenta cu \( 2x^{2}-x\sqrt{2}+2\geq 0 \), care este adevarata pentru orice x.
Atunci \( |1-z|=\sqrt{(1-\cos a)^{2}+\sin^{2} a}=\sqrt 2\cdot\sqrt{1-\cos a}\geq\sqrt{2}, \) deci inegalitatea din stanga este rezolvata.
Apoi \( |1+z^{2}|=\sqrt{(\cos 2a+1)^{2}+\sin^{2} 2a}=\sqrt{2(1+\cos 2a)}=2\|cos a| \).
Notam \( x=\sqrt{1-\cos a}, x\in(0;\sqrt{2}) \) si trebuie sa aratam ca are loc inegalitatea \( x\sqrt{2}+2|x^{2}-1|\leq 4 \).
Daca \( x\geq 1 \), atunci inegalitatea e echivalenta cu \( (x-\sqrt{2})(2x+ 3\sqrt{2})\leq 0 \), adevarat, iar daca \( x<1, \) atunci e echivalenta cu \( 2x^{2}-x\sqrt{2}+2\geq 0 \), care este adevarata pentru orice x.
Andrei Ciupan.
