Calculati

[alex2008]

Se stie ca \( a^2+b^2-2a-2b=2 \) . Calculati maxim si minim de a+b .

[Marius Mainea]

\( (a-1)^2+(b-1)^2=4 \)

[alex2008]

Ca o continuare pentru ca nu este chiar atat de evident cum se face mai departe
Avem proprietatea ca \( x^2+y^2=1 \) \( \leftrightarrow \) \( |x|\le1 \) si \( |y|\le1 \)
Demonstratie : \( y^2\ge0 \) \( \rightarrow \) \( -y^2\le0 \) \( \leftrightarrow \) \( 1-y^2\le1 \) , dar stim ca \( x^2+y^2=1 \) , deci \( x^2=1-y^2 \) si avem \( x^2\le1 \) , adica \( |x|\le1 \) .
Rezulta ca \( |\frac{a-1}{2}|\le1 \) si \( |\frac{b-1}{2}| \) \( \rightarrow \) \( -1\le{a}\le3 \) si \( -1\le{b}\le3 \) , deci \( min(a+b)=-2 \) si \( max(a+b)=6 \)

[Laurian Filip]

nu este chiar bine....

acel maxim nu se poate atinge. nu exista a si b astfel incat a+b=6, si \( (a-1)^2+(b-1)^2=4 \)

[Marcelina Popa]

\( x^2+y^2=1 \) \( \leftrightarrow \) \( |x|\le1 \) si \( |y|\le1 \)

Nu este echivalenta intre cele doua afirmatii, pentru ca implicatia inversa nu e adevarata. Exemplu: pt \( x=y=\frac{1}{2} \), a doua afirmatie este adevarata, iar prima nu.

Se poate scrie totul in functie de \( s=a+b \) si \( p=ab \), apoi folosim faptul ca \( s^2\ge 4p \).

Daca n-am gresit eu la calcule, se obtine:

\( s^2-4s-4\le 0 \)
\( (s-2)^2\le 8 \)
\( |s-2|\le 2\sqrt{2} \)
etc

Se poate lucra si trigonometric: \( x=sin t, \ y=cos t \)