Olimpiada judeteana Tulcea

[Dorobantu Razvan]

Tulcea Etapa judeteana
1.Comparati numerele:
\( \frac{27^5}{4^{11}}si\frac{2^{23}}{9^8} \)
mai sunt inca 2 dar acum trebuie sa plec la scoala . Le postez dup-aia.
Gata. Am venit.
2.Sa se arate ca numarul \( 8+8^2+8^3+...+8^{888} \) se divide cu 73.
(mai erau niste probleme de genul asta, vedeti mai jos la celelatlt topic-uri ) .
3.Intr-o cutie sunt de 5 ori mai multe bile rosii decat bile albe. Daca se adauga 6 bile albe si se iau 18 bile rosii in cutie raman de doua ori mai multe bile rosii. Cate bile albe si cate rosii au fost initaial in cutie?

[alex2008]

1)\( 27^5=(3^3)^5=3^{15} \)
\( 4^{11}=(2^2)^{11}=2^{22} \)
\( 9^8=3^{16} \)
\( \Rightarrow \frac{3^{15}}{2^{22}} \) si \( \frac{2^{23}}{3^{16}} \)
\( 9^7>8^7 \Rightarrow (3^2)^7>(2^3)^7 \Rightarrow 3^{14}>2^{21}/\cdot2 \)
\( \Rightarrow 3^{14}\cdot2>2^{22} \) , dar \( 3^{14}\cdot2<3^{14}\cdot3=3^{15} \)
\( \Rightarrow 3^{15}>2^{22} \) , deci prima fractie e supraunitara . \( 3^{15}>2^{22}/\cdot2 \Rightarrow 3^{15}\cdot2>2^{23} \Rightarrow 3^{16}>2^{23} \) , deci a doua fractie e subunitara .
2)\( 8+8^2+8^3+...+8^{888}=8(1+8+8^2)+8^4(1+8+8^2)+...+8^{886}(1+8+8^2)=73(8+8^4+...+8^{886}) \)
3)\( x \)-numarul de bile rosii
\( y \)-numarul de bile albe
\( x=5y \)
\( (y+6)\cdot2=x-18 \)
\( \Rightarrow x=50 , y=10 \)

[Dorobantu Razvan]

N-am verificat, dar cred ca e bine...