Operatii distributive

[Liviu Ornea]

Doua operatii pe aceeasi multime, distributive una fata de cealalta si avind acelasi element neutru, coincid si sint comutative si asociative.

E simplu, dar se poate folosi pentru a demonstra ca grupurile de omotopie de ordin superior \( \pi_n \) sint comutative pentru \( n\geq 2 \).

L.O.

[Liviu Ornea]

Da, daca exista element neutru, acelasi pentru amindoua.
L.O.

[Dragos Fratila]

chestia cu distributivitatea ma induce in eroare...
Daca operatiile sunt + respectiv * distributivitate inseamna:
\( x+(y*z)=(x+y)*(x+z) \) ?

Aa in acest caz nu e prea corect. Daca luam ambele operatii in Z sa fie adunarea:
\( x+(y+z)=(x+y)+(x+z) \) ?? (evident nu)

[Liviu Ornea]

Sa ma fi pacalit?

Eu scriam (daca notez * si + operatiile, e elementul neutru):

x*y=(x+e)*(e+y)=(x*e)+(e*y)=x+y, deci egalitatea operatiilor.
Apoi x*y=(e+x)*(y+e)=(e+y)*(x+e)=y*x.

L.O.

[maky]

Voi nota cu \( \vee \) si \( \wedge \) cele doua operatii si \( e \) elementul neutru. Voi arata intai ca \( x \vee x = x \) (si analog \( x \wedge x = x \)). Acest fapt este adevarat deoarece \( x=e \vee x = (e \wedge e) \vee x = (e \vee x) \wedge (e \vee x) = x \wedge x \).

Acum voi arata ca \( x \vee y = x \vee (x \wedge y) \). Am ca \( x \vee y = x \vee (e \wedge y) = (x \vee e) \wedge (x \vee y) = x \wedge (x \vee y) = (x \wedge x) \vee (x \wedge y) = x \vee (x \wedge y) \) (folosind faptul ca \( x \wedge x=x \)).

Urmeaza sa arat si ca \( x \wedge y=x \vee (x\wedge y) \). Din simetria relatiei de mai sus, am ca \( x \wedge y = x \wedge (x \vee y) \). Dar
\( x \wedge (x \vee y) = (x \wedge x) \vee (x \wedge y) = x \vee (x \wedge y) \).

Astfel, \( x\vee y=x \wedge y=x \vee (x \wedge y) \), asadar am demonstrat faptul ca cele doua operatii coincid.

In cele ce urmeaza voi nota operatia multiplicativ, si anume \( x\vee y=xy \). Distributivitatea inseamna ca \( x(yz)=(xy)(xz) \).

Arat comutativitatea :

\( yx=y(xe)=(yx)(ye)=(yx)y \).

\( xy=(ex)y=(ey)(xy)=y(xy)=(yx)(yy)=(yx)y \).

Deci \( yx=xy \).

Arat asociativitatea :

Din relatia de mai sus, rezulta ca \( zt=(zt)z \) (pt \( z=y,t=x \)).

\( x(yz)=(xy)(xz)=(xz)(xy) \). Fie \( A=xz \). Atunci \( x(yz)=A(xy)=(Ax)(Ay) \). Cum \( Ax=(xz)x=xz=A \), rezulta ca \( x(yz)=A(Ay)=(Ae)(Ay)=A(ey)=Ay=(xz)y \).

Deci \( x(yz)=(xz)y \). Cum \( yz=zy \), rezulta ca \( x(zy)=(xz)y \), si deci operatia este asociativa.

[Dragos Fratila]

x*y=(x+e)*(e+y)=(x*e)+(e*y)=x+y, deci egalitatea operatiilor.

x*y=(x+e)*(y+e)=x*y+x*e+e*y+e*e=x*y+x+y
Iertati-ma dar eu nu inteleg... poate este vb de o altfel de distributivitate?

[Liviu Ornea]

Scuze, se pare ca m-am grabit. Dar solutia lui maky pare ok. In particular, arata si de ce (Z,+) nu e un contraexemplu.
L.O.

[Dragos Fratila]

Pai daca vrem sa fie si grup, din ce a demonstrat maky rezulta ca trebuie sa fie grup trivial.

[Alin Galatan]

Domnul Ornea nu a gresit relatia, ci pur si simplu a dat-o prea direct. Intr-adevar, aceea nu e distributivitate. Dar nici nu a zis ca a aplicat distributivitatea. A aplicat doua distributivitati, a lui + fata de * si * fata de +.

In primul rand, dupa cum a observat si maky, \( x+x=x \) si \( x*x=x \).
\( x+x=(x*e)+(x*e)=x*(e+e)=x \) si analoaga.
Acum sa ne uitam ce se intampla cu \( (a*b)+(c*d) \) si \( (a+b)*(c+d) \) si sa vedem daca sunt egale pentru \( b=c=e \) (cazul domnului Ornea)
Prima devine \( [(a*b)+c]*[(a*b)+d]=[(a+c)*(b+c)]*[(a+d)*(b+d)] \), iar a doua \( [(a*c)+(b*c)]+[(a*d)+(b*d)] \)
Demonstram ca \( (a+c)*(b+c)=(a*c)+(b*c) \) si \( (a+d)*(b+d)=(a*d)+(b*d) \) pentru \( b=c=e \)
Prima este echivalenta cu \( (a+e)*(e+e)=(a*e)+(e*e) \), evident adevarata.
A doua, cu \( (a+d)*d=(a*d)+d \)
Cum \( (a+d)*d=(a*d)+(d*d) \) si \( d*d=d \), am obtinut ceea ce a spus domnul Ornea, \( (x*e)+(e*y)=(x+e)*(e+y) \).