Subgrupurile lui Z_n

[bgd]

Aratati ca subgrupurile lui \( (Z_n,+) \) sunt grupurile generate \( <\hat{d}> \) unde \( d|n \).

[Marius Mainea]

Se aplica teorema lui Lagrange:

Pentru orice subgrup H al unui grup finit G avem :

\( |G|=|H|\cdot|G:H|. \)

si faptul ca orice subgrup al unui grup ciclic este ciclic.

[bgd]

Da, la asta ma gandeam si eu...dar ma gandeam daca exista o solutie mai scurta, fara a folosi ca orice subgrup al unui grup ciclic este ciclic.
Mai merge folosit deasemenea si faptul ca \( (Z_n,+) \) e izomorf cu \( (U_n,.) \)

[bgd]

Sau mai simplu: se aplica teorema de corespondenta pentru subgrupuri pe morfisme surjective de grupuri.

Da, dar asta nu se poate face la clasa.

[Beniamin Bogosel]

Daca \( (n,d)=k \) atunci exista \( a,b \) intregi a.i. \( an+bd=k \).

Presupunem ca \( H\subset \mathbb{Z}_n \) este subgrup nenul. Atunci alegem cel mai mic element nenul \( d \) din \( H \). Atunci \( d|n \) pentru ca altfel am gasi \( 0<k<d \) in \( H \) (pentru ca \( (n,d)=k<d \)), ceea ce contrazice alegerea lui \( d \). Daca exista un element din \( H \) care nu e multiplu de \( d \) atunci tot prin procedeul de sus se poate gasi \( 0<k<d \) in \( H \). Contradictie cu alegerea lui \( d \). Prin urmare orice subgrup este generat de un divizor al lui \( n \).

Asta mi se pare cea mai elementara solutie...

[bgd]

Intr-adevar, asta e ceea ce cautam.
Multumesc

[Beniamin Bogosel]

Atunci alegem cel mai mic element nenul \( d \) din \( H \).

Hm, cred ca H este format din clase, deci nu prea vad cum vei alege un cel mai mic element nenul.

Cred ca intelegeti ce vreau sa zic, numai ca nu va place cum am scris.... Daca scriam "alegem \( \hat{d}\in H \) cu \( d \) nenul si minim", atunci era bine?