Multime nemarginita

[Marius Mainea]

Se considera A o multime de numere reale care satisface proprietatile:

1) \( 0\in A \)
2) \( x\in A\Rightarrow 2^x+3^x\in A \)
3) \( x^2+x^3\in A \Rightarrow x\in A \)

Sa se arate ca:
a) multimea A este nemarginita;
b) multimea A contine cel putin doua numere pozitive subunitare.

Lucian Dragomir, GM 7-8/2008

[Laurian Filip]

a) \( 0\in A \) rezulta din proprietatea a doua ca \( 2\in A \).
Presupunem prin absurd ca multimea este marginita, deci are un element maxim m, unde \( m\geq 2 \).
\( m\in A \) \( \to \) \( 2^m+3^m \in A \)
Din inegalitatea lui Bernoulli stim ca \( 2^m+3^m>1+m+3^m>m \) deci m nu e maxim. CONTRADICTIE!
Asadar multimea este nemarginita.

b) \( 1^2+1^3 \in A \to 1\in A \)
\( f(x)=x^2+x^3 \) este o functie continua monotona.
cum \( f(0)=0 \) si \( f(1)=2 \) din Darboux rezulta exista \( k\in(0,1) \) cu proprietatea \( f(k)=1 \)

Deoarece \( k\in A \), analog exista \( m\in(0,1) \) in aceasta multime, cu proprietatea \( f(m)=k \). Cum \( k<1 \) si \( f \) este o functie strict crescatoare \( \to m<k \) \( \to \) \( m\neq k \)

Asadar exista doua numere pozitive subunitare in multimea A.

[Laurian Filip]

M-am cam grabit .

Multimea este marginita, deci exista un n natural urmatoarele doua proprietati:
1. orice element din A este mai mic sau egal ca n+1.
2. exista un element in A mai mare decat n.

Fie k un element care satisface a doua proprietate, deci \( n<k \leq n+1 \).
\( k\in A \to 2^k+3^k\in A \)

Din inegalitatea lui Bernoulli
\( 2^k+3^k\geq 1+k +3^k > n+1 \)
si aici gasim contradictia.